Układ Cramera, błędny wynik.

[macieqq]

Witam
Mam prośbę, czy mógłby ktoś rozwiązać ten przykład metodą Cramera, ponieważ wynik mi się nie zgadza z książkowym. Odpowiedź to \(\displaystyle{ a=1, b=-1, c=1, d=-1}\). Z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a + 3b + 4c - 5d = 9\\
5a - 7b + 8c + 2d = 18\\
4a + 5b - 7c - 3d = -5\\
7a + 8b +3c + 4d = -2 \end{cases}}\)

Pozdrawiam

[scyth]

A nie możesz sprawdzić sam? Wstaw swoje odpowiedzi do każdego równania, jak się zgadza, to na pewno masz dobrze. Wstaw odpowiedzi książkowe i zobacz, czy wszystkie równania się zgadzają.

[macieqq]

Witam
Trochę nie rozumiem , skoro mam inne wyniki to nie może być przecież dobrze? Jak widać książkowe są ok. Byłbym wdzięczny za rozwiązanie krok po kroku.

[scyth]

Ja umiem liczyć, ty nie umiesz, choć próbujesz. Napisz ty swoje rozwiązanie tutaj i błąd na pewno się znajdzie.

[Mariusz M]

Witam
Mam prośbę, czy mógłby ktoś rozwiązać ten przykład metodą Cramera, ponieważ wynik mi się nie zgadza z książkowym. Odpowiedź to \(\displaystyle{ a=1, b=-1, c=1, d=-1}\). Z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a + 3b + 4c - 5d = 9\\
5a - 7b + 8c + 2d = 18\\
4a + 5b - 7c - 3d = -5\\
7a + 8b +3c + 4d = -2 \end{cases}}\)

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\ 5&-7&8&2\\4&5&-7&-3\\7&8&3&4 \end{bmatrix}}\\
=- \frac{1}{15}\det{\begin{bmatrix} -15&-15&-20&25 \\ 15&-21&24&6\\4&5&-7&-3\\7&8&3&4 \end{bmatrix}} \\
= \frac{1}{3}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\ 0&-36&4&31\\4&5&-7&-3\\7&8&3&4 \end{bmatrix}}\\
= -\frac{1}{36}\det{\begin{bmatrix} -12&-12&-16&20 \\ 0&-36&4&31\\12&15&-21&-9\\7&8&3&4 \end{bmatrix}} \\
= \frac{1}{9}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\ 0&-36&4&31\\0&3&-37&11\\7&8&3&4 \end{bmatrix}} \\
= -\frac{1}{187}\det{\begin{bmatrix} -21&-21&-28&35 \\ 0&-36&4&31\\0&3&-37&11\\21&24&9&12 \end{bmatrix}}}\\
= \frac{1}{27}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\ 0&-36&4&31\\0&3&-37&11\\0&3&-19&47 \end{bmatrix}}\\
=- \frac{1}{27}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&-36&4&31\\0&3&-19&47 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{324}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&36&-444&132\\ 0&-36&4&31\\0&3&-19&47 \end{bmatrix}}\\
=- \frac{1}{27}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&0&-440&163\\0&3&-19&47 \end{bmatrix}}\\
=\frac{1}{27}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&-3&37&-11\\ 0&0&-440&163\\0&3&-19&47 \end{bmatrix}}\\
-=\frac{1}{27}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&0&-440&163\\0&0&18&36 \end{bmatrix}}\\
=-\frac{1}{3}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&0&-440&163\\0&0&2&4 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{660}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&0&-440&163\\0&0&440&880 \end{bmatrix}}\\
=- \frac{1}{660}\det{\begin{bmatrix} 3&3&4&-5 \\0&3&-37&11\\ 0&0&-440&163\\0&0&0&1043 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ \det{A}=- \frac{1}{660} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-440 \right) \cdot 1043\\
\det{A}=1 \cdot 6 \cdot 1043 =6258}\)

Pozostale wyznaczniki liczysz w podobny sposob

[macieqq]

Witam ponownie,
Dziękuję bardzo za rozwiązanie, rozumiem że na początku pomnożyłeś pierwszy wiersz razy -5, drugi razy 3, dodałeś pierwszy do drugiego, itd. Tę metodę rozumiem, jednak nie wiem czym jest ułamek przed det? Oraz ja zostałem nauczony tak, że po dojściu do sytuacji, w której mam w kolumnie/wierszu jedynke (badz tutaj trójkę) i same zera to metodą sarussa obliczam już wyznacznik. Jeżeli Twoja metoda jest sprawniejsza to proszę o komentarz.

Pozdrawiam!

[Mariusz M]

Ten ułamek przed det jest dlatego że każde pomnożenie wiersza bądź kolumny przez skalar
mnoży wartość wyznacznika przez ten skalar
Może nie tyle metodą Sarrusa co wtedy jest wygodnie skorzystać z rozwinięcia Laplace
ale nie musisz tego robić wystarczy doprowadzić macierz do postaci trójkątnej
lub takiej że od razu widać że jest osobliwa (wiersz/kolumna) jest zerowy
(wiersz/kolumna jest kombinacją liniową innych wierszy/kolumn)

Do pełnego rozwiązania brakuje jeszcze czterech wyznaczników
które musisz podzelić przez ten już obliczony (spróbuj dokończyć)

Policz takie wyznaczniki (w ten sposób co Tobie pokazałem)

\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} 9&3&4&-5 \\ 18&-7&8&2\\-5&5&-7&-3\\-2&8&3&4 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} 3&9&4&-5 \\ 5&18&8&2\\4&-5&-7&-3\\7&-2&3&4 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} 3&3&9&-5 \\ 5&-7&18&2\\4&5&-5&-3\\7&8&-2&4 \end{bmatrix}}}\)

\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} 3&3&4&9 \\ 5&-7&8&18\\4&5&-7&-5\\7&8&3&-2 \end{bmatrix}}}\)

[macieqq]

Witam
Przepraszam, ale nie do końca łapie ten skalar. Popraw mnie jeśli źle rozumuję, pierwszy wiersz pomnożyłeś razy -5, drugi razy 3 , dlatego wstawiłeś odwrotność -\(\displaystyle{ \frac{1}{15}}\), następnie po wykonaniu dodania pierwszego wiersz do drugiego napisałeś \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) bo pomnożyłeś pierwszy wiersz razy 4, a trzeci razy 3? nie rozumiem tutaj przejścia? Zobacz czy taka metoda jest prawidłowa, teraz mi wyznacznik wyszedł -6258:

W pierwotnej wersji odejmuje K1-K2 i otrzymuje:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&3&4&-5\\12&-7&8&2\\-1&5&-7&-3\\-1&8&3&4\end{bmatrix}}\)

Następnie wiersz drugi i trzeci mnożę razy -1, następnie W2-12W3, W3-W4

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&3&4&-5\\0&53&-76&-34\\0&3&10&7\\1&-8&-3&-4\end{bmatrix}}\)

Teraz wykreślam piewszą kolumnę i czwarty wiersz , spisuje to co zostało i przepisuje dwa pierwsze wiersze:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&4&-5\\53&-76&-34\\3&10&7\\3&4&-5\\53&-76&-34\end{bmatrix}}\)

Mnożę i wychodzi - 6258.
Zawsze liczyłem taką metodą jednak raz wychodzi raz nie.
Dziękuję i pozdrawiam

[Mariusz M]

Tak ale zauważ że oprócz dodania jednego wiersza do drugiego wyciągnąłem \(\displaystyle{ -5}\)
z pierwszego wiersza przed wyznacznik i dlatego przed wyznacznikiem zostawiłem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Jeśli mnożysz jakiś wiersz/kolumnę przez skalar to wyciągasz jego (tego skalara) odwrotność przed wyznacznik