Udowodnić, że zbrioy spełniają pewną zależność

[NagashTheBlack]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem:

Niech X będzie pewnym niepustym zbiorem, zaś A i B jego podzbiorami. Udowodnić, że:

\(\displaystyle{ (A \subset B) \Leftrightarrow (B' \subset A')}\)

Proszę o pomoc, jak zabrać się za rozwiązanie takiego zadania.

[miki999]

Udowodnij implikacje w obie strony. Najłatwiej nie wprost.



Pozdrawiam.

[NagashTheBlack]

Tak znam prawo, że aby równoważność była prawdziwa, prawdziwe muszą być implikacje w obie strony to jest:

Aby \(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q}\)

To:

\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) prawdziwe
\(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\) prawdziwe

a następnie założyć fałszywość tych implikacji używając dowodu nie wprost. Mój problem polega na tym, że nie mam pojęcia, JAK udowodnić fałszywość takiej implikacji.

Pozdrawiam.


EDIT: To znaczy, wydaje mi się , że mam udowodnić w pierwszej implikacji, że jeśli (A c B) jest prawdą, to niemożliwe, żeby druga częśc była fałszem, czy tak (zakładając nie wprost, że (B' c A') jest fałszem)?

[miki999]

JAK udowodnić fałszywość takiej implikacji.

No właśnie obie mają być prawdziwe.

Twoja sytuacja jest o tyle komfortowa, że autor polecenia pisze Ci, że to tw. jest prawdziwe, a Ty masz "jedynie" to udowodnić


Spróbuję zacząć jedną z nich (zgadnij którą ).

Załóżmy nie wprost, że nie prawdą jest, że \(\displaystyle{ B' \subset A'}\), wtedy istnieje co najmniej jeden element (nazwijmy go \(\displaystyle{ x}\)), który (...)

jedziesz dalej.

[Qń]

To co mamy do udowodnienia to równoważność:
\(\displaystyle{ (x\in A \Rightarrow x\in B) \Leftrightarrow ( x \notin B \Rightarrow x \notin A)}\)
a tu nie ma czego dowodzić, bo to po prostu prawo kontrapozycji.

Q.

[NagashTheBlack]

Dziękuję za pomoc