Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się

[sYa_TPS]

Witam po wakacyjnej przerwie

Mam problem z jednym zadaniem.

Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ o(A,r_1), o(B,r_2)}\) takie, że:

\(\displaystyle{ r_1 = k+ 1}\)
\(\displaystyle{ r_2 = 2k - 2}\)
\(\displaystyle{ |AB| = 4k - 4}\)

określ położenie okręgów w zależności od parametru k. I teraz ustaliłem kiedy są rozłącznie zewnętrznie, styczne zewnętrznie i styczne wewnętrznie. Mam problem
z ustaleniem dla jakiego parametru jeden okrąg leży w drugim i kiedy są to okręgi przecinające się. Próbowałem to zrobić tak:

Okręgi są styczne wewnętrznie gdy\(\displaystyle{ AB = | R_1 - R_2 |}\)

Więc:

\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 - ( 2k-2 )}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 -2k + 2 |}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = |-k +3|}\)

I teraz rozumiem, że mam rozpatrzyć 2 przypadki

1.\(\displaystyle{ k \in ( -n, 3 >}\)
2. \(\displaystyle{ k \in (3, n)}\)

1. \(\displaystyle{ 4k-4 = -k +3}\)
\(\displaystyle{ 5k = 7}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{7}{5}}\)

2.\(\displaystyle{ 4k-4 = k - 3}\)
\(\displaystyle{ 3k = 1}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{3}}\)

A w odpowiedzi jest, że K należy od 1 do 7:5. Więc to robię źle?

Okręgi przecinające się czyli \(\displaystyle{ |R_2-R_1|<AB<R_2+R_1}\)

I teraz nie wiem jak mam to zacząć? Gdy podstawie to rozłożyć to na 2 działania ?

Z góry dziękuję za pomoc

[mat_61]

Dla podanego warunku (używaj konsekwentnie takich samych oznaczeń w całym zadaniu):

\(\displaystyle{ |AB|=|r_{1}-r_{2}|}\)

okręgi są styczne wewnętrznie.

I ten przykład rozwiązałeś prawie do końca, bo dla drugiego przypadku otrzymałeś: \(\displaystyle{ k= \frac{1}{3}}\) ale otrzymane rozwiązanie nie należy do rozpatrywanego przedziału, czyli \(\displaystyle{ (3;+ \infty)}\) (nie wiem dlaczego u Ciebie jest n). Tym samym jedynym rozwiązaniem jest:

\(\displaystyle{ k= \frac{7}{5}}\)

Natomiast okręgi zawierają się jeden w drugim jeżeli odległość ich środków jest mniejsza od wyliczonej wyżej, czyli spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ |AB|<|r_{1}-r_{2}|}\)

Ale ta odległość nie może być też jednocześnie mniejsza od zera. Musisz więc uwzględnić dodatkowy warunek:

\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \\ \\ 4k-4 \ge 0}\)

W ogóle na początku zadania powinieneś zrobić założenia:

\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \wedge r_{1}>0 \wedge r_{2}>0}\)

i wyznaczyć te wartości k dla których zadanie ma sens.

[math questions]

\(\displaystyle{ \begin{cases} |R_2-R_1|<AB \\ AB<R_2+R_1 \end{cases}}\)
rozwiąż taki układ nierówności klamra oznacza część wspólna

[sYa_TPS]

Dobra wszystko bangla ale.. w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ k \in (1, \frac{7}{5})}\) Więc rozumiem, że zamiast \(\displaystyle{ 4k-4 \ge 4}\) ma być \(\displaystyle{ 4k-4 > 4}\) ?

[mat_61]

Dobra wszystko bangla ale.. w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ k \in (1, \frac{7}{5})}\) Więc rozumiem, że zamiast \(\displaystyle{ 4k-4 \ge 4}\) ma być \(\displaystyle{ 4k-4 > 4}\) ?

Oczywiście powinno być:

\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0}\) (a nie 4)

Przecież jeżeli odległość pomiędzy środkami okręgów jest równa zero (czyli dla k=1) to okręgi są współśrodkowe i niewątpliwie jeden okrąg leży wewnątrz drugiego (jeżeli okręgi mają różne promienie).

Natomiast odpowiedź wynika z innego warunku. Przeczytaj w moim poprzednim poście jakie powinny być założenia.

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \wedge r_{1}>0 \wedge r_{2}>0}\) - domyślam się, że chodzi o to. Rozumiem, że trzeba podstawić i będzie tak:

\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\) I co dalej?

Mam to 'rozbić' na parę działań? Czy jak?

[mat_61]

Teraz masz rozwiązać każdą z tych nierówności i znaleźć wspólną część tych rozwiązań (to właśnie oznacza znaczek \(\displaystyle{ \wedge}\) czytany jako i), czyli t musi być takie żeby spełniać każdy z tych warunków. Wynikiem będą takie wartości t dla których zadanie ma w ogóle geometryczny sens.

Jakiekolwiek rozwiązanie z tego zadania musi więc zostać ograniczone do tych właśnie wartości (chyba żeby pytanie było typu: jakich wartości nie może przyjmować parametr t).

[sYa_TPS]

To rozumiem, chodzi mi o to jak mam rozwiązać to:

\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\)

Czy mam to rozpatrzeć tak, że pierw:

\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1}\) a potem resztę też po kolei czy jak?

Czyli wyjdzie:

\(\displaystyle{ k \ge 1}\)
\(\displaystyle{ k > -1}\)
\(\displaystyle{ k > 1}\)

Czyli część wspólna to od \(\displaystyle{ (1, \infty )}\)?

[mat_61]

To rozumiem, chodzi mi o to jak mam rozwiązać to:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\)

Rozwiązujesz każdą z nierówności osobno i znajdujesz część wspólną tych rozwiązań.

Twoja odpowiedź jest OK.
Wynika z niej, że rozwiązania muszą zawierać się w przedziale \(\displaystyle{ (1;+ \infty )}\), bo tylko dla takich wartości k zadanie ma geometryczny sens.

W związku z tym wszystkie otrzymane rozwiązania musisz ograniczyć do powyższego przedziału.

Myślę, że teraz rozumiesz dlaczego jest taka odpowiedź w książce?

[sYa_TPS]

Tak. Już rozumiem. Dziękuję bardzo