Całka pierwiastek z x kwadrat plus jeden

[zico232]

Jak rozwiązać tę całkę?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1+x^{2} } dx}\)

[Afish]

Raz przez części dokładając \(\displaystyle{ x'}\), a raz przez przemnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1+x^2} }{\sqrt{1+x^2} }}\). Otrzymasz układ równań.

[Mariusz M]

Można też pierwsze podstawienie Eulera

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+x^2} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ t=x+ \sqrt{1+x^2}\\
t-x= \sqrt{1+x^2}\\
t^2-2tx+x^2=1+x^2\\
t^2-2tx=1\\
t^2-1=2tx\\
x= \frac{t^2-1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}=t-\frac{t^2-1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int{ \frac{ \left(t^2+1 \right) ^2}{t^3} \mbox{d}t}= \frac{1}{4} \left( \int{t \mbox{d}t}+ \frac{2}{t} \mbox{d}t+ \int{\frac{1}{t^3} \mbox{d}t} \right)= \frac{1}{4} \left( \frac{t^2}{2}+2\ln{ \left| t\right| } - \frac{1}{2t^2} \right) +C \\
\frac{1}{8} \left( \frac{t^4-1}{t^2} +4\ln{ \left| t\right| } \right) +C \\
= \frac{1}{8} \left( 2x \cdot 2\sqrt{1+x^2}+4\ln{ \left| x+ \sqrt{1+x^2} \right| } \right)+C}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1+x^2}+\ln{ \left| x+ \sqrt{1+x^2} \right| } \right)+C}\)