rotacja, gradient

[qwerty213]

Obliczyć \(\displaystyle{ rot(gradU)}\) gdzie \(\displaystyle{ U(x,y,z)=z*sin(xy)}\), obliczyłem już \(\displaystyle{ gradU= [zycos(xy), zxcos(xy), sin(xy)]}\) ale nie wiem co mam dalej zrobić, jak obliczyć z tego rot?

[cosinus90]

To, co Ci na razie wyszło, to wektor. Teraz oblicz rotację w następujący sposób:

\(\displaystyle{ rot(gradU) = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial }{ \partial x} & \frac{ \partial }{ \partial y} &\frac{ \partial }{ \partial z}\\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{array}\right|}\)

gdzie \(\displaystyle{ F_{x},F_{y}, F_{z}}\) to kolejne współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{grad} U}\).

[qwerty213]

mam jeszcze jedno pytanie (może trochę głupie). Jeśli \(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}}\) oznacza pochodną X-ową itd to ta macierz bedzie dziwnie wyglądała, bo wektor liczyłem tak\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y}=Fy}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z}\\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{array}\right|}\)

chyba, że o to chodzi?

[cosinus90]

Hmm szczerze mówiąc nie rozumiem Twojego pytania. Oblicz ten wyznacznik, a następnie poobliczaj pochodne po odpowiednich zmiennych ze współrzędnych tego wektora.

[qwerty213]

w moich obliczeniach miałem m.in. taki zapis \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial z}=sin(xy)}\) co jak się okazało jest równe \(\displaystyle{ F{z}}\)

teraz w Twojej macierzy widzę takie coś
\(\displaystyle{ rot(gradU) = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial }{ \partial x} & \frac{ \partial }{ \partial y} &\frac{ \partial }{ \partial z}\\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{array}\right|}\)
czy te \(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z}}\) to to samo co moje \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial z}}\) czy coś innego ?

[cosinus90]

Nie, \(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z}}\) to operator różniczkowania po zmiennej z.
Jeśli podstawisz za odpowiednie współrzędne \(\displaystyle{ F_{x}, F_{y}, F_{z}}\) te współrzędne, które już wyliczyłeś wcześniej, mianowicie \(\displaystyle{ [zycos(xy), zxcos(xy), sin(xy)]}\), to wtedy przy obliczaniu wyznacznika macierzy będziesz liczyć odpowiednie pochodne z tych wyrażeń.

[qwerty213]

wyliczyłem ten wyznacznik i wyszło mi \(\displaystyle{ \left( \frac{ \partial }{ \partial y}sin(xy)-zxcos(xy) \frac{ \partial }{ \partial z} \right) \vec{i}- \left( \frac{ \partial }{ \partial x}sin(xy)-zycos(xy) \frac{ \partial }{ \partial z} \right) \vec{j} + \left( \frac{ \partial }{ \partial x}zxcos(xy)-zycos(xy) \frac{ \partial }{ \partial y} \right) \vec{k}}\) i nie mam zielonego pojęcia co mogę jeszcze z tym zrobić

[cosinus90]

Zróżniczkuj \(\displaystyle{ sin(xy)}\) względem y, \(\displaystyle{ -zxcos(xy)}\) względem z itd.
Gwoli ścisłości - operator różniczkowy pisze się zawsze przed wyrażeniem, które różniczkujemy.

[qwerty213]

wszędzie wyszło \(\displaystyle{ 0}\) - jeśli to dobrze to odpowiedź powinna być \(\displaystyle{ rot(gradU)=[0,0,0]}\) tak? czy coś jeszcze trzeba

[cosinus90]

Tak. Możesz jeszcze dodać, że takie pole wektorowe nazywamy bezwirowym.

[qwerty213]

Dzięki wielkie za pomoc.