Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

[myszka666]

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długośc a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

[cosinus90]

Obliczając długość najkrótszej przekątnej podstawy przy użyciu długości krawędzi podstawy posłuż się twierdzeniem cosinusów. Dzięki temu wyrazisz też za pomocą tej długości długość przekątnej graniastosłupa. Dalej już powinno być z górki

[Radi20]

\(\displaystyle{ V=P _{p}H}\) - wzór na objętość graniastosłupa
W podstawie mamy sześciokąt, który możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych, więc:
\(\displaystyle{ P _{p}=6P _{ \Delta}}\)
\(\displaystyle{ P _{ \Delta}= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) - wzór na pole trójkąta równoczocznego
Podstawiamy do pola na powierzchnię podstawy:
\(\displaystyle{ P _{p}=6 \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{3 \sqrt{3} a ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d _{1} =a \sqrt{3}}\) - wzór na krótszą przekatną sześciąkąta foremnego
\(\displaystyle{ d _{2}=2a}\) - wzór na dłuższą przekątną sześciokąta foremnego
Więc:
\(\displaystyle{ D=4d=4 \cdot a \sqrt{3}=4 \sqrt{3} a}\) - najdłuższa przekątna graniastosłupa
Wysokość H jest za razem długością krawędzi bocznej, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d _{2} ^{2}+H ^{2}=D ^{2}}\)
Wyznaczamy H:
\(\displaystyle{ H ^{2}=D ^{2}-d _{2} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{D ^{2}-d _{2} ^{2}}}\)
Wstawiamy długości przekątnych:
\(\displaystyle{ H= \sqrt{(4 \sqrt{3} a) ^{2}-(2a)^{2}}= \sqrt{48a ^{2} -4a ^{2}}= \sqrt{44a ^{2} }=2 \sqrt{11}a}\)
I teraz wszystko wstawiamy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V= \frac{3 \sqrt{3} a ^{2} }{2} \cdot 2 \sqrt{11}a=3 \sqrt{33}a ^{3}}\)

[cosinus90]

Radi20, brawo. Czego nauczyła się myszka666 ?