Znajdź przedziały monotoniczności i ew. ekstrema lokalne f.

[McCool]

Mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ e^{x} }{x+2}}\)
Dziedzina tej funkcji to zbiór liczb rzeczywistych oprócz -2.

1. Aby obliczyć monotoniczność wyznaczam pierwszą pochodną. Wg. moich obliczeń wychodzi mi:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{ e^{x}(x+1) }{ (x+2)^{2} }}\)

Funkcja jest rosnąca dla: \(\displaystyle{ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)}\)
Funkcja jest malejąca dla: \(\displaystyle{ x \in (-1, +\infty)}\)

2. Ekstremum. W tym celu szukam pochodnej drugiego stopnia. Tutaj jednak dochodzę pewnego momentu i nie wiem co robić dalej:

\(\displaystyle{ f''(x)=(\frac{ e^{x} }{x+2})''=(\frac{ e^{x}(x+1) }{ (x+2)^{2} })'= \frac{[ e^{x}(x+1)]' (x+2)^{2}-(x+2)'[e ^{x}(x+1) ] }{(x+2) ^{4} }= \frac{e ^{x}(x+2) ^{3}-e ^{x}(x+1)}{(x+4) ^{4} }}\)

Co mogę dalej zrobić z tym równaniem? Nie za bardzo szczególnie wiem co zrobić z tym "e"? Czy można to jakoś jeszcze uprościć?

[cosinus90]

Jeśli masz pochodną dobrze wyliczoną (tego nie sprawdzam), to po prostu przyrównaj licznik do zera z założeniem \(\displaystyle{ x \neq -4}\).

[McCool]

Ok. A co później? Mam podstawić pod x w -1 i -2 które są punktami przegięcia? A co z "e"?

[cosinus90]

Zaraz, zaraz.
Żeby wyznaczyć ekstremum funkcji, należy jej pierwszą pochodną przyrównać do zera. Niepotrzebnie liczysz drugą pochodną.
Wybacz że teraz o tym mówię, nie zauważyłem tego wcześniej bo szybko przeleciałem wzrokiem.

[McCool]

Racja! Też się trochę zapędziłem... Ok, po przyrównaniu do 0, wychodzi mi tylko jedno ekstremum:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1}\)

Ale teraz żeby ustalić czy jest to minimum czy maksimum lokalne i tak muszę policzyć pochodną drugiego stopnia... Tylko nie wiem czy ta pochodna drugiego stopnia jest prawidłowa? Czy można ją uprościć, czy po prostu podstawić pod x?

[cosinus90]

Niekoniecznie, wystarczy zbadać monotoniczność tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

[McCool]

Wcześniej nie obliczałem nigdy tego w ten sposób, więc wolę nie próbować i pozostać przy starej metodzie. Chciałbym tylko ustalić, czy jeżeli podstawię pod licznik drugiej pochodnej w miejsce x wcześniej wyliczony x z pierwszej pochodnej, to czy to wystarczy? Tj. ewentualnie mogę jakoś uprościć te równanie?

[cosinus90]

Hmm no skoro tak chcesz.
Podstaw od razu, nie ma co kombinować bo łatwo się pomylić po tylu obliczeniach