Rekurencja, odnaleźenie tn

[Zerg]

Witam

Mam chyba prosty przykład z którym nie mogę sobie poradzić

otóż

\(\displaystyle{ a_{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} + \frac{1}{n(n+1)}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

i dalej wiem, żę

\(\displaystyle{ a_{n} = A \cdot 1^{n} + tn}\)

I jak teraz przewidzieć tn jakie będzie?

[Crizz]

A nie prościej zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\):
\(\displaystyle{ a_{n}= 1+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1+\sum_{k=1}^{n} \frac{k+1-k}{k(k+1)}=1+ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)= \\ =1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}}\)
?
(wzór przy okazji działa także dla \(\displaystyle{ n=0}\)).

Jeśli \(\displaystyle{ t}\) miało być stałą, to wzór, który przewidziałeś, nie bardzo pasuje.