[Nierówności] wykazanie nierówności

[marek12]

Wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) mamy \(\displaystyle{ \ds \frac1{3!}+\frac3{4!}+\ldots+\frac{2n-1}{(n+2)!}<\frac12}\)

[Fingon]

Jeśli tym razem nigdzie się nie pomyliłem to:

Zachodzi \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{(n+2)!} < \frac{1}{2^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), co można udowodnić indukcyjnie.

Po zsumowaniu powyższej nierówności dla każdego składnika i ograniczeniu sumy ciągu geometrycznego przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), wychodzi teza zadania.

[timon92]

Przez indukcję można pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{2n-1}{(n+2)!} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{2n+1}}\)

[Premislav]

bez indukcji, lecz mniej elementarnie:    

\(\displaystyle{ \frac{2k-1}{(k+2)!}=\frac{2}{(k+1)!}-\frac{5}{(k+2)!}}\)
i dodając stronami takie równości dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{(k+2)!}=1- 3 \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+2)!}-\frac{2}{(n+2)!}}\)
i teraz tak:
korzystając z \(\displaystyle{ e= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{k!}}\) nietrudno udowodnić ( na przykład korzystając z takiego szacowania, jak to udowodnione na początku tego posta), że
\(\displaystyle{ 1-3 \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+2)!}<\frac{17}{2}-3e+\frac{3}{(n+2)\cdot (n+2)!}, \ n=1,2\ldots}\)
i wystarczy odnotować, że \(\displaystyle{ \frac{3}{n+2}<2}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), co jest oczywiste
oraz że \(\displaystyle{ e>\frac 8 3}\),
co można uzasadnić, zauważając, że cztery pierwsze wyrazy rozwinięcia \(\displaystyle{ e}\) w szereg dają sumę \(\displaystyle{ 1+1+\frac 1 2+\frac 1 6=\frac 8 3}\), by zakończyć dowód tezy.

Sorry, nie mam co ze sobą zrobić dziś popołudniowo-wieczorną porą.