Przykład funkcji z własnoscią Darboux, ale bez pierwotnej.

[little weirdo]

Takie oto pytanie egzaminacyjne. Jakoś znaleźć nie umiem, wymyślić tym bardziej. Pomoże ktoś?

[szw1710]

O ile pamiętam coś podobnego było tu na forum ze 2 miesiące temu i ja brałem udział w dyskusji. ZObacz posty mojego autorstwa.

Znalazłem, specjalnie dla Ciebie 204264.htm

Byłem jedynym dyskutantem

[little weirdo]

O! Jak miło, dziękuję slicznie ^^

[xiikzodz]

Funkcje z linku nie mają własności Darboux. Można wziąć:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccr} \disp \frac{1}{x}\cos(\ln x)& \mbox{dla} & x>0 \\ 0 & \mbox{dla} & x\leq 0 \end{array} \right.}\)

Ta ma własność Darboux, bo obrazem dowolnego przedziału \(\displaystyle{ [a,b)}\) zawierającego zero jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a na każdym innym przedziale tego typu jest to funkcja ciągła. Nie ma funkcji pierwotnej, bo gdyby \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\), to \(\displaystyle{ F(x)=\sin(\ln x) + C}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), lecz funkcja \(\displaystyle{ \sin(\ln x)}\) nie ma granicy prawostronnej w zerze.

[szw1710]

Masz rację - zły przykład podałem, błąd polegał na tym, że jeśli mamy wartości różnych znaków, to pośrednie pomiędzy nimi przyjmowane są nie pomiędzy odpowiednimi argumentami, ale poza nimi. Nie jest to więc takie trywialne. Zobaczę dokładniej przykład, który podałaś.

Dobry przykład. Dziękuję za wytknięcie błędu.