O trójkącie

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 20:10

Dany jest trójkąt prostokątny o obwodzie 24 cm. Suma kwadratów długości wszystkich boków jest równa 200 cm. Znajdź długość boków trójkąta.

Althorion · Post autor: **Althorion** » 3 wrz 2010, o 20:19

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c = 24 \\ a^2 + b^2 = c^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 200 \end{cases}}\)

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 20:26

a jak obliczyć każdy bok trójkąta?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 3 wrz 2010, o 20:32

Z tego oto układu równań.

Zacznij na przykład wstawiając drugie równanie do trzeciego:
\(\displaystyle{ c^2 + c^2 = 200 \\ c^2 = 100 \\ c =\pm 10}\)
A jako że boki raczej nie powinny mieć ujemnej długości, to \(\displaystyle{ c = 10}\).

Dalej już gładko. Poradzisz sobie?

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 20:47

czyli

\(\displaystyle{ a+b+10=24

a ^{2} + b ^{2} =100}\)

\(\displaystyle{ a=14-b

(14-b) ^{2} +b ^{2} =100}\)

i coś mi dalej nie wychodzi xd

Althorion · Post autor: **Althorion** » 3 wrz 2010, o 20:51

Dobrze. Dalej wygląda to tak:
\(\displaystyle{ (14-b)^2 + b^2 = 100 \\ b^2 - 14b + 48 = 0 \\ \Delta = 4 \\ b \in \{6, 8\}}\)
I wracając do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ b = 6 \Rightarrow a + 16 = 24 \Rightarrow a = 8 \\ b = 8 \Rightarrow a + 18 = 26 \Rightarrow a = 6}\)

Czyli jest to trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 6, 8, 10}\).

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 20:54

mógłbyś mi bardziej rozpisać skąd się wzieło

\(\displaystyle{ b ^{2} -14b+48=0}\)
???

Vax · Post autor: **Vax** » 3 wrz 2010, o 20:56

\(\displaystyle{ (14-b)^2 + b^2 = 100}\)

\(\displaystyle{ 196 - 28b + b^2 + b^2 = 100}\)

\(\displaystyle{ 2b^2 - 28b + 96 = 0 /:2}\)

\(\displaystyle{ b^2 - 14b + 48 = 0}\)

Pozdrawiam.

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 21:06

Mozesz to jakoś rozwinac bo nie rozumiem jak obliczyłeś a i b

\(\displaystyle{ \\ b \in \{6, 8\}}\)
I wracając do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ b = 6 \Rightarrow a + 16 = 24 \Rightarrow a = 8 \\ b = 8 \Rightarrow a + 18 = 26 \Rightarrow a = 6}\)

Czyli jest to trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 6, 8, 10}\).

Althorion · Post autor: **Althorion** » 3 wrz 2010, o 21:09

Oczywiście.

\(\displaystyle{ b^2 - 14b + 48 = 0 \\ \Delta = 4 \\ x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = 8 \\ x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = 6}\)

I teraz podstawiłem to do pierwszego równania, najpierw jedną, potem drugą wartość. Otrzymałem to, co widać.

mariusz48 · Post autor: **mariusz48** » 3 wrz 2010, o 21:40

mariusz48 pisze:

\(\displaystyle{ \\ b \in \{6, 8\}}\)
I wracając do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ b = 6 \Rightarrow a + 16 = 24 \Rightarrow a = 8 \\ b = 8 \Rightarrow a + 18 = 26 \Rightarrow a = 6}\)

Czyli jest to trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 6, 8, 10}\).

czemu tu
b=6-->a+16=24-->a=8
jest ta liczba 24 a w drugim 26 skąd to sie bierze ?? sory że taki niekumaty jestem

Vax · Post autor: **Vax** » 3 wrz 2010, o 22:18

Po prostu Althorion popełnił mały błąd, i zamiast 24 napisał 26

Pozdrawiam.