kilka równań

[Kanies]

Witam, bardzo prosiłbym o pomoc przy poniższych równaniach, ew. sprawdzenie moich poczynań

1.
\(\displaystyle{ y^{'}=\frac{y}{t}+\frac{t}{y}\\
\frac{dy}{y}=\frac{dt}{t}+\frac{tdt}{y^{2}} \qquad ...?}\)

2.
\(\displaystyle{ xy^{'}+1=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}(x+1)=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-1}{x+1}\\
\int dy=\int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx}\)
w rozwiązaniu mam że:
\(\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x-2\ln|x+1|+C}\)
stąd wnioskuję że:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx=\int(x^{2}-x+1-\frac{2}{x+1})dx}\)
tylko w jaki sposób to przekształcić do takiej postaci ?

3.
\(\displaystyle{ x^{2}+(\frac{dy}{dx})^{2}=1\\
(\frac{dy}{dx})^{2}=1-x^{2}\\
\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-x^{2}}\\
\int dy=\int\sqrt{1-x^{2}}dx}\)
i znowu w rozwiązaniu jest:
\(\displaystyle{ \ln|y|=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin)+C}\)
moje pytanie brzmi: w jaki sposób ?


4.
\(\displaystyle{ (1+e^{y})yy^{'}=e^{t}\\
ydy(1+e^{y})=e^{t}dt\\
ydy+ye^{y}dy=e^{t}dt\\ \qquad ...?}\)

z góry dziękuję za pomoc

[pajong8888]

1. Spróbuj podstawić \(\displaystyle{ \frac{y}{t}=z\Rightarrow y=zt\Rightarrow y'=z't+z}\)
Podstawisz i będziesz miał równanie \(\displaystyle{ z't=\frac{1}{z}}\) To równanie już łatwo wyliczysz.

-- 3 wrz 2010, o 16:41 --

W drugim zrobiłeś głupi błąd już po pierwszej linijce. Powinno być:
\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}=x^3-2}\)
\(\displaystyle{ dy=\frac{x^3-2}{x}dx}\)
Całkujesz i wychodzi.-- 3 wrz 2010, o 16:50 --3. Błąd w książce dobrze zrobiłeś to zadanie. Nie widzę zastrzeżeń.
4. Zwykle najzwyklej całkujesz (drugie wyrażenie przy dy przez części).
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{2}+ye^y-e^y=e^t+c}\)
Równanie w postaci uwikłanej będące rozwiązaniem tego zagadnienia.

[Kanies]

bardzo przepraszam ale źle przepisałem drugi przykład, w pierwszej linijce powinno być:
\(\displaystyle{ xy^{'}+1=x^{3}-y^{'}}\)

co do trzeciego przykładu zauważ że nie rozwiązałem go do końca tylko podałem rozwiązanie z książki, do którego nie wiem jak dojść.

dziękuje za odpowiedź

[pajong8888]

w 2.
podzielić wielomiany
Dzielisz każdy wyraz wielomianu w liczniku przez wyraz z największa potęgą przy x wielomianu w mianowniku następnie mnożysz otrzymany wyraz przez wielomian w liczniku i odejmujesz od wielomianu z mianownika wygląda to tak:
\(\displaystyle{ (x^3-1):(x+1)=x^2}\)
\(\displaystyle{ -x^3-x^2}\)
\(\displaystyle{ (-x^2-1):(x+1)=-x}\)
\(\displaystyle{ +x^2+x}\)
\(\displaystyle{ (x-1):(x+1)=1}\)
\(\displaystyle{ -x-1}\)
\(\displaystyle{ -2}\)
Wszystkie wyniki po prawej stronie równości dodajesz a resztę dzielisz przez wielomian w liczniku i masz wynik.-- 4 wrz 2010, o 01:38 --3. możesz wykorzystać gotowy wzór możesz obliczyć tą całkę ręcznie. Gotowy wzór jest następujący:
\(\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2} arc\sin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+c}\)

[Kanies]

pięknie dziękuje