zamiana wyrażenia logarytmicznego na postać z a i b

[sirius black]

Witam!

Mam pewien problem z zadaniem. Trzeba w nim zamienić postać z logarytmem na postać z a i b:
\(\displaystyle{ \log_{3}20 = a}\)
\(\displaystyle{ \log_{3}15 = b}\)
\(\displaystyle{ \log_{2}360 = ???}\)

dziękuje za wszelkie sugestie

[Fingon]

Jesteś pewny, że nie pomyliłeś podstawy logarytmu w ostatnim wyrażeniu?

Jeśli się pomyliłeś, to wydaje się, że wystarczy rozłożyć liczby na czynniki pierwsze, wyłączyć co się da korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \log (a) + \log(b) = log(ab)}\), a następnie wyrazić za pomocą tego co uzyskamy szukane wyrażenie. Jeśli okaże się, że faktycznie ta 2 w podstawie to błąd, to mogę rozpisać przykład.

[sathan]

Niech:

\(\displaystyle{ 3^{a} = 20}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{b}=15}\)

Niech szukana wartość spełnia warunek:

\(\displaystyle{ 2^{c} =360}\)

jak też:

\(\displaystyle{ 360 = 2^{3} *3 ^{2}*5}\)

niech

\(\displaystyle{ 5*360 = 2^{3} * 3^{2}* 5^{2}=20*15*6}\)

czyli

\(\displaystyle{ 5*360 = 3^{a}* 3^{b}*6}\)

dalej:

\(\displaystyle{ 5* 2^{c}=6* 3^{a+b}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 5* 2^{c-1}= 3^{a+b+1}}\)

Logarytmując obustronnie równanie logarytmem o podstawie 2 jest już blisko wyznaczenia wartości szukanej c.

Powodzenia,

sathan

[sirius black]

hmmm, próbuje to zlogarytmować ale mi nic nie wychodzi ciekawego:
\(\displaystyle{ \log_{2}5 + c - 1 = \log_{2}3^{a + b + c}}\)
\(\displaystyle{ c = \log_{2}3^{a + b + c} - \log_{2}5 + 1}\)
Próbowałem też zmienić podstawę logarytmu w pierwszym składniku po prawej stronie równania ale, też nic to nie daje...
PS. Nie pomyliłem podstaw, jest tak jak napisałem. Wynik wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{3a-b+5}{a-b+1}}\)
Niestety nie wiem jak go otrzymać (sprawdziłem w odpowiedziach).

[sathan]

Przepraszam za niedopatrzenie.

Może lepiej byłoby logarytmować logarytmem o podstawie 3.

Natomiast obliczenia (lekko kosmiczne powiem wprost) prowadzić tak, by c było tylko po jednej stronie równania i korzystać ze wszystkich twierdzeń o logarytmach.
W tym logarytmowaniu potęgi.