Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego:

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 18:01

\(\displaystyle{ xy'siny=1}\), spełniające warunki \(\displaystyle{ y(1)= \frac{ \pi }{2}}\).

Również nie mam pojęcia co z tym zrobić. ;/

nemezis100807 · Post autor: **nemezis100807** » 2 wrz 2010, o 18:26

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Stosując zapis równoważny

\(\displaystyle{ y'=\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)

przekształć równianie tak, by wyrażenia zależne od \(\displaystyle{ y}\) były po jednej stronie równania, natomiast cała reszta po drugiej. W razie problemów pisz

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 18:40

\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{xsiny}}\) ??

nemezis100807 · Post autor: **nemezis100807** » 2 wrz 2010, o 20:53

Źle. Powinno być

\(\displaystyle{ xy'\sin{y}=1 \Leftrightarrow x\sin{y}\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=1 \Leftrightarrow \sin{y} \mbox{d}y=\frac{1}{x} \mbox{d}x}\)

Wiesz co należy dalej z tym zrobić?

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 23:03

Obustronnie wyciągnąć z tego całkę?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 2 wrz 2010, o 23:10

Tak, scałkować obustronnie.

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 23:17

\(\displaystyle{ \int \sin{y} \mbox{d}y= \int \frac{1}{x} \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ -cosy=ln|x|+C}\)

podzielić przez \(\displaystyle{ -cos}\) teraz?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 2 wrz 2010, o 23:28

Udam, że nie dostrzegłem tego pytania
Jeśli chcesz usunąć jakąkolwiek funkcję, trzeba zastosować funkcję do niej odwrotną.

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 23:39

To co mam zrobić? Bo nie wiem. Podstawić pod warunek \(\displaystyle{ y(1)= \frac{ \pi }{2}.}\) ??

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 2 wrz 2010, o 23:41

Pomnóż przez \(\displaystyle{ -1}\) obustronnie, żeby usunąć minus sprzed funkcji cosinus, a następnie posłuż się funkcją arcus cosinus (mam nadzieję, że znasz takową).

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 23:45

Chwilka

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 2 wrz 2010, o 23:48

Tak, można też tak, aczkolwiek bardziej "naukowo" byłoby ostatecznie wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) :

\(\displaystyle{ cosy=-(ln|x|+C)}\)
\(\displaystyle{ y=arccos(-(ln|x|+C))}\)

I właśnie o to mi chodziło.
No ale jak kto woli

Tyson · Post autor: **Tyson** » 2 wrz 2010, o 23:57

Hehe, tamto rozwiązanie skasowałem przypadkowo bo razem napisaliśmy w tym samym czasie i od razu myślałem, że było źle

no i to wszystko? Czy wyznaczamy \(\displaystyle{ C}\) ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 2 wrz 2010, o 23:58

Jeśli jest podany warunek początkowy, to trzeba koniecznie wyznaczyć stałą C, oczywiście podstawiając dane. Po wyznaczeniu jeszcze napisz dla formalności ostateczną postać funkcji y

Tyson · Post autor: **Tyson** » 3 wrz 2010, o 00:09

\(\displaystyle{ cosy=-(ln|x|+C)}\)

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{2}=-(ln|1|+C)}\)

\(\displaystyle{ C=0}\)

\(\displaystyle{ y=arccos(-(ln|x|))}\) ??