Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu bądź udzieleniu wskazówek w poniższych granicach:
1)\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0^{+} } x^{ctgx}}\) (ctg rozbijam na \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}}\) ale sinx nie może dążyć do zera w mianowniku, więc co się dzieje z sinx kiedy x dąży do 0 z prawej strony?)
2)\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } arctgx \cdot ln(1+x ^{2})}\)
3)\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } sinx \cdot \frac{lnx}{x ^{2} }}\)
Granica funkcji
-
miodzio1988
Granica funkcji
1)\(\displaystyle{ a ^{b} =e ^{blna}}\)
3)Korzystamy ze znanych symboli nieoznaczonych
2)Zamieniamy iloczyn na iloraz
3)Korzystamy ze znanych symboli nieoznaczonych
2)Zamieniamy iloczyn na iloraz
Granica funkcji
Aha. A jeśli w pierwszym przykładzie użyłbym innego sposobu tzn.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } x ^{ctgx} = \lim_{x \to 0 ^{+} } x ^{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }ctgx } = 0}\) bo ctgx dążące do 0 z prawej strony jest równe nieskończoność a x dążace do zera jest coraz mniejszcze prawie równe zero wtedy całość dąży do 0 ?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } x ^{ctgx} = \lim_{x \to 0 ^{+} } x ^{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }ctgx } = 0}\) bo ctgx dążące do 0 z prawej strony jest równe nieskończoność a x dążace do zera jest coraz mniejszcze prawie równe zero wtedy całość dąży do 0 ?
-
miodzio1988
Granica funkcji
Czyli jeżeli pierwszy przykład jest równy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } e^{ctgx \cdot lnx}}\) to obliczam:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } ctgx \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } \frac{cosx}{ \frac{sinx}{x} } \cdot \frac{1}{x} \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } cosx \cdot \frac{lnx}{x} = 1 \cdot \frac{- \infty }{ 0^{+} } = - \infty}\)
a wtedy \(\displaystyle{ e^{- \infty } = 0 ?}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } ctgx \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } \frac{cosx}{ \frac{sinx}{x} } \cdot \frac{1}{x} \cdot lnx = \lim_{x \to 0^{+} } cosx \cdot \frac{lnx}{x} = 1 \cdot \frac{- \infty }{ 0^{+} } = - \infty}\)
a wtedy \(\displaystyle{ e^{- \infty } = 0 ?}\)
Granica funkcji
W tym trzecim przykładzie rozbijam iloczyn na iloraz i dzięki temu pozbywam się sinx ale pozostaje mi
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{lnx}{x} = \frac{ \infty }{ \infty }}\) - próbowałem regułą d'Hospitala ale non stop wychodzą mi symbole nieoznaczone. Jak to rozwiązać?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{lnx}{x} = \frac{ \infty }{ \infty }}\) - próbowałem regułą d'Hospitala ale non stop wychodzą mi symbole nieoznaczone. Jak to rozwiązać?
-
Fingon
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
Granica funkcji
Z reguły d'Hospitala wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0}\).
Granica funkcji
Tak, rzeczywiście. 2 przykład rozwiązałem bez problemu. Mam w sumie jeszcze jedno, ostatnie pytanie. Rozwiązałem wszystkie przykłady z książki i miałem niejasności z 2 przykładami. Wydaje mi się, że są błędny w odpowiedziach dlatego chciałem to z Tobą miodzio skonsultować.
1) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^{+} } e^{ -\frac{1}{1- x ^{4} } } = \lim_{ x\to 1^{+} } \frac{1}{e ^{ \frac{1}{1- x^{4} } } }}\)
Wykorzystuję zamianę wykładnika \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{4} } = t}\) a gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^{+}}\) to \(\displaystyle{ t \rightarrow - \infty}\) bo \(\displaystyle{ \frac{1}{ 0^{-} } = - \infty}\) w związku z czym \(\displaystyle{ \frac{1}{e ^{- \infty } } = e^{ \infty } = \infty}\) a w książce podana odpowiedź to 0
2)\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } 7 ^{2x \cdot ctgx} = \lim_{x \to 0^{+} } e^{2x \cdot ctgx \cdot ln7}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } 2x \cdot ctgx \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2x \cdot \frac{cosx}{sinx} \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2 \cdot cosx \cdot ln7 = 2 \cdot ln7}\)
\(\displaystyle{ e^{ln 7^{2} } = 49}\) W odpowiedziach natomiast jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}}\)
1) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^{+} } e^{ -\frac{1}{1- x ^{4} } } = \lim_{ x\to 1^{+} } \frac{1}{e ^{ \frac{1}{1- x^{4} } } }}\)
Wykorzystuję zamianę wykładnika \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{4} } = t}\) a gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^{+}}\) to \(\displaystyle{ t \rightarrow - \infty}\) bo \(\displaystyle{ \frac{1}{ 0^{-} } = - \infty}\) w związku z czym \(\displaystyle{ \frac{1}{e ^{- \infty } } = e^{ \infty } = \infty}\) a w książce podana odpowiedź to 0
2)\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } 7 ^{2x \cdot ctgx} = \lim_{x \to 0^{+} } e^{2x \cdot ctgx \cdot ln7}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } 2x \cdot ctgx \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2x \cdot \frac{cosx}{sinx} \cdot ln7 = \lim_{x \to 0^{+} } 2 \cdot cosx \cdot ln7 = 2 \cdot ln7}\)
\(\displaystyle{ e^{ln 7^{2} } = 49}\) W odpowiedziach natomiast jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}}\)
-
miodzio1988
Granica funkcji
Oczywiścieto z Tobą miodzio skonsultować.
\(\displaystyle{ 1- x^{4}}\)
Zrób sobie wykres tej funkcji i zobacz co się dzieje gdy idziemy do jedynki z prawej strony.
Granica funkcji
Gdy zbliżam się iskami do jedynki z prawej strony to wartość funkcji zbliża się do 0 . X nie osiąga jedynki więc jest zawsze jakąś tam cząstkę większy od 1 np. 1.0000000...9 . Wszystkie wartości które przyjmuje funkcja dla x>1 są ujemne więc cokolwiek bym zrobił to 1-(1.0000....9)^4 <0 w przybliżeniu \(\displaystyle{ \frac{1}{- \infty }}\) a jeżeli występuje wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{- \infty } } = - \infty}\) Gdzie popełniam błąd w rozumowaniu ?
Granica funkcji
Czyli błąd w odpowiedziach. Dzięki ogromne za pomoc. Wydaję mi się że już załapałem sens zagadnienia granic funkcji.
Pozdrawiam
Pozdrawiam