Prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania:
Wyznacz wartosc srednia funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x^2 + y^2}\) na obszarze
\(\displaystyle{ D=\left\{(x,y): x \le y \le x+2, 2 \le x \le 3\right\}}\). Z gory dziekuje.
wartosc srednia funkcji
-
pajong8888
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
wartosc srednia funkcji
\(\displaystyle{ f(c_1,c_2)=\frac{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} f(x,y)dxdy}{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} dxdy}}\)
Czyli całka z tej funkcji po tym obszarze prze pole tego obszaru. Interpretacja geometryczna będzie taka, że objętość bryły ograniczonej tą funkcją w tym obszarze a płaszczyzną OXY (gdy ta funkcja jest nieujemna, gdy istnieją w podanym obszarze punkty dal których funkcja jest ujemna, wtedy różnica objętości brył ponad płaszczyzną OXY i pod tą płaszczyzną) jest równa iloczynowi pola tego obszaru i wartości średniej tej funkcji, jako "średniej wysokości".
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} f(x,y)dxdy= \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} (x^2+y^2)dxdy= \int_{2}^{3} x^2dx \int_{x}^{x+2}dy+ \int_{2}^{3} dx \int_{x}^{x+2} y^2dy= \int_{2}^{3} 2x^2dx+\frac{1}{3} \int_{2}^{3} (6x^2+12x+8)dx=38}\)
Całkę oblicz już sam i sprawdź bo na szybkiego to obliczyłem.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} dxdy= \int_{2}^{3} 2dx=6-4=2}\)
\(\displaystyle{ f(c_1,c_2)=\frac{38}{2}=19}\)
19 to średnia wartość tej funkcji na tym obszarze.
Czyli całka z tej funkcji po tym obszarze prze pole tego obszaru. Interpretacja geometryczna będzie taka, że objętość bryły ograniczonej tą funkcją w tym obszarze a płaszczyzną OXY (gdy ta funkcja jest nieujemna, gdy istnieją w podanym obszarze punkty dal których funkcja jest ujemna, wtedy różnica objętości brył ponad płaszczyzną OXY i pod tą płaszczyzną) jest równa iloczynowi pola tego obszaru i wartości średniej tej funkcji, jako "średniej wysokości".
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} f(x,y)dxdy= \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} (x^2+y^2)dxdy= \int_{2}^{3} x^2dx \int_{x}^{x+2}dy+ \int_{2}^{3} dx \int_{x}^{x+2} y^2dy= \int_{2}^{3} 2x^2dx+\frac{1}{3} \int_{2}^{3} (6x^2+12x+8)dx=38}\)
Całkę oblicz już sam i sprawdź bo na szybkiego to obliczyłem.
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3} \int_{x}^{x+2} dxdy= \int_{2}^{3} 2dx=6-4=2}\)
\(\displaystyle{ f(c_1,c_2)=\frac{38}{2}=19}\)
19 to średnia wartość tej funkcji na tym obszarze.