wartosc oczekiwana

[withdrawn]

Jesli \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość symetryczną wokół \(\displaystyle{ c}\) , tzn. \(\displaystyle{ f(c+x) = f(c-x)}\) , dla wszystkich \(\displaystyle{ x \ge 0}\) to pokaż że \(\displaystyle{ EX = c}\) , o ile wartość oczekiwana jest skonczona.

[Majorkan]

Podstawiając w drugiej równości \(\displaystyle{ x=y+c}\)
\(\displaystyle{ E(X)= \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty} (y+c)f(y+c)dy=\int_{-\infty}^{\infty}yf(y+c)dy+c\int_{-\infty}^{\infty}f(y+c)dy=\int_{-\infty}^{\infty}yf(y+c)dy + c}\)

Z drugiej strony, jeśli podstawimy \(\displaystyle{ x=c-z}\)
\(\displaystyle{ E(X) = -\int_{\infty}^{-\infty}(c-z)f(c-z)dz=\int_{-\infty}^{\infty}cf(c-z)dz - \int_{-\infty}^{\infty}zf(c-z)dz = c - \int_{-\infty}^{\infty}zf(c-z)dz}\)

Ale \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}zf(c-z)dz = \int_{-\infty}^{\infty}zf(c+z)dz}\)
Stąd \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}zf(c+z)dz = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ E(X)=c}\).