całka nieoznaczona problem

[malynowa]

Mam oto taką całkę:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{2x} }{ e^{2x}+2 e^{x} +5 } = \left| e^{x}=t e^{x}dx=dt \right|=
\int_{}^{} \frac{ t^{2} }{ t^{2} +2t+5} = \int_{}^{} \frac{t^{2} +2t+5}{t^{2} +2t+5} - \int_{}^{} \frac{2t+5}{t^{2} +2t+5} = \int_{}^{} 1 - \int_{}^{} \frac{2t+2+3}{t^{2} +2t+5} =
t - ln|t^{2} +2t+5| - \int_{}^{} \frac{3}{t^{2} +2t+5}}\)

Cóż, nie wiem czy dobrze rozumuję do tego etapu. Mógłby ktoś na to spojrzeć? oraz co zrobić dalej z tą całeczką? Może istnieje jakiś prostszy sposób?


Ps. przepraszam za brak "dx" i "dt".

[miodzio1988]

Pierwsza równość jest już źle

[malynowa]

czyli nie mogę sobie tego tak podstawić?

[miodzio1988]

Możesz . Tylko dobrze podstawiaj

[malynowa]

a mogłabym prosić o jakąś wskazówkę?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ e^{x}=t}\)

\(\displaystyle{ e^{x}dx=dt}\)

\(\displaystyle{ tdx=dt}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ e^{2x} = e^{x}\cdot e^{x} = t dt}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{tdt}{t^{2}+2t +5} = \frac{1}{2} \int \frac{2t+ 2 -2}{t^{2} +2t +5}dt = \frac{1}{2}\int \frac{2t+2}{t^{2} +2t +5}dt - \int \frac{1}{ (t+1)^{2} +4}dt = \frac{1}{2} \ln (t^{2}+2t+5) -\frac{1}{4}\int \frac{1}{(\frac{t+1}{2})^{2} +1}dt = \frac{1}{2}\ln(t^{2} +2t+5) - \frac{1}{4}\int\frac{1}{(\frac{t+1}{2})^{2} +1}dt{}\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{2} = u}\)
\(\displaystyle{ dt = 2du}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\ln (t^{2} +2t +5) - \frac{1}{4}\int \frac{2}{u^{2}+1}du = \frac{1}{2}\ln(t^{2}+2t +5)-\frac{1}{2}\arctan(u) + C = \frac{1}{2}\ln(t^{2} +2t +5) -\frac{1}{2}\arctan(\frac{t+1}{2}) +C = \frac{1}{2}\ln(e^{2x}+2e^{x} +5) - \frac{1}{2}\arctan(\frac{e^{x}+1}{2}) + C}\)