zbadaj ciaglosc funkcji

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 20:32

witam. mam zbadac ciaglosc takiej funkcji :
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{3sinx}{2x}, x<0 \\ 2x-2, x \in <0;1> \\ -lnx, x \in (1;e) \\ cosx , x>e \end{cases}}\)

i moje pytanie. mam zbadac ciaglosc funkcji w punkcie na takich puntach jak:
-1;0;1;2;3 ?

dalem 2 i 3 bo 2 jest mniejsze od e, a 3 wieksze...

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 20:43

Nie, badasz ciągłość funkcji w punktach 0,1,e. W punktach -1,2 i 3 funkcja jest ciągła, bo ciągłe są w całej dziedzinie funkcje \(\displaystyle{ sinx,\ cosx,\ lnx}\).

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 20:56

najpierw badam dla 0. jak mam to poprawnie zapisac ?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{ x\to0 } \frac{3sinx}{2x} \\ \lim_{ x\to0 } 2x - 2 \end{cases}}\)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 21:01

Tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0^{+} } \frac{3sinx}{2x}\\
\lim_{ x\to0^{-} } 2x - 2}\)
ponieważ badamy jednostronne granice funkcji.

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 21:17

hmm...nie bardzo wiem jak to policzyc...

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 21:23

Jeżeli funkcja f ma w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) skończoną granicę równą a i funkcja g ma w tym samym punkcie skończoną granicę równą b, to funkcja \(\displaystyle{ f \cdot g}\) ma w tym punkcie granicę równą \(\displaystyle{ ab}\).
W tym przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0^{+} } \frac{3sinx}{2x}}\)
mamy funkcje:
\(\displaystyle{ f=\frac{3}{2}}\) i \(\displaystyle{ g=\frac{sinx}{x}}\)
Należy policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0^{+} } f \cdot g}\)
i skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{sinx}{x}=1}\).

W granicy lewostronnej wystarczy tylko podstawić.

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 21:32

czyli granica prawo stronna jest rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) a lewostronna \(\displaystyle{ -2}\) ?

czyli granica lewo i prawo stronna nie sa rowne, czyli wychodzi na to ze funkcja nie jest ciagle w punkcie 0 ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 21:33

dokładnie tak.

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 21:39

dalej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{ x\to0^-} 2x-2 \\ \lim_{ x\to0^+} -lnx \end{cases}}\)

jeszcze pytanie, skad mam wiedziec gdzie dla jakiej linijki mam zbadac granice lewostronna a dla jakiej prawostronna ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 21:43

Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1^{+} } 2x - 2\\\lim_{ x\to1^{-} } -lnx}\)
Przecież już wiemy, że funkcja f jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty; 1)}\) oprócz punktu zero. Dlatego zajmujemy się jej ciągłością w punkcie jeden.
Tutaj, w \(\displaystyle{ 2x - 2}\) liczymy granicę prawostronną w punkcie jeden, bo lewostronna granica w punkcie jeden nie istnieje - po prostu funkcja \(\displaystyle{ 2x - 2}\) nie jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu 1, jest tam określona innym wzorem.

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 21:49

wystarczy tylko podstawic ?

granica lewo i prawostronna wyszla 0 wiec funkcja jest ciagla ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 21:51

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 21:56

juz chyba rozumiem, zrobie dla e

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{ x\to e^+ } -lnx \\ \lim_{ x\to e^- } cosx \end{cases}}\)

granica prawostronna = -1
granica lewostronna = -0,9

funkcja nie jest ciągła

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 sie 2010, o 22:04

no ciągła faktycznie nie jest, a skąd wiesz, że \(\displaystyle{ cose=-0,9}\)?
ja bym to inaczej uzasadnił..

dethim · Post autor: **dethim** » 31 sie 2010, o 22:08

spytałem się google

Kod: Zaznacz cały

http://www.google.pl/#hl=pl&q=cos+e&aq=f&aqi=&aql=&oq=cos+e&gs_rfai=&fp=8b73f1c6ab2ca658

jak bys to uzasadnił ?