Znaleźc pochodną kierunkową funkcji

[Tyson]

\(\displaystyle{ \[U = y^2 - 2xz +3\]}\)
w punkcie \(\displaystyle{ \[M(-1;2;-1)\]}\) w kierunku tworzącym jednakowe kąty ze wszystkimi osiami układu współrzędnych.

Wiem, że trzeba obliczyć pochodne po x,y,z potem podstawic je do gradientu i pomnozyc przez wartosci punktu.. ale co dalej?

[janusz47]

\(\displaystyle{ gradf(U)= [ -2z, 2y, -2x]= 2[-z, y, -x].}\)
\(\displaystyle{ \overline{v} = \left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right]}\)
\(\displaystyle{ f^{'}(M)_|\overline{v}= gradf(M)\cdot \overline{v}= 2 \left [1, 2, 1\right] \cdot \left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right] = \frac{8}{3}\sqrt{3}}\)

[Tyson]

Dzięki, ale możecie objaśnić skąd ten wektor się wziął i czemu akurat to tak się robi?

[janusz47]

Jest to wektor jednostkowy
\(\displaystyle{ \| \overline{v} \| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+ (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}} = 1,}\)
który tworzy z osiami prostokątnego układu współrzędnych w \(\displaystyle{ R^{3}}\) kąty o mierze
\(\displaystyle{ \alpha = \arccos( \frac{\sqrt{3}}{3})}\)
Skorzystaliśmy z wygodnego wzoru na pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora \(\displaystyle{ \overline{v}}\) w punkcie p
\(\displaystyle{ f_{|\overline{v}}^{'}(p) = gradf(p)\cdot \overline{v}}\)
Można też skorzystać z definicji pochodnej kierunkowej jako granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{f(p +t\overline{v}) - f(p)}{t}}\)

[Tyson]

I teraz wszystko jasne. Dzięki