zbieżność szeregu kryt. d'Alemberta

[praktyk]

do sprawdzenia: kryt, d'Alemberta

Wycięto dubel
2.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n+1}{n^5+1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n \cdot 2+1}{(n+1)^5+1} \cdot \frac{n^5+1}{2^n+1} =}\)

macie jakieś pomysły jak to uprościć?

[miodzio1988]

do sprawdzenia: kryt, d'Alemberta

1.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n!}{2n!}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!}{2(n+1)!} \cdot \frac{2n!}{n!} =1}\)

\(\displaystyle{ 1=1 \Rightarrow}\) kryt. nie rozstrzyga

2.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n+1}{n^5+1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n \cdot 2+1}{(n+1)^5+1} \cdot \frac{n^5+1}{2^n+1} =}\)

macie jakieś pomysły jak to uprościć?

1.

https://matematyka.pl/207034.htm

dubel który zgłaszam

2. kr. Cauchy'ego

[praktyk]

dubel który zgłaszam

przepraszam za pomyłkę, myślałem że tego nie pisałem na forum

2. kr. Cauchy'ego

a nie da rady z d'Alemberta?

[miodzio1988]

a nie da rady z d'Alemberta?

Da. Ale trzeba wiedzieć co trzeba robić. Stąd zmieniam kryterium

[praktyk]

czyli z Cauchy'ego, do sprawdzenia:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{2^n+1}{n^5+1} } = \lim_{ n\to \infty } 2 \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n^5+1} } =2 \cdot 1=2>1 \Rightarrow \text{rozbieżny}}\)

[miodzio1988]

Źle. Wynik dobry. Sposób zły

[Inkwizytor]

d'Alembertem ładnie wychodzi, zmieniłbym tylko troszkę porządek rzeczy:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n \cdot 2+1}{(n+1)^5+1} \cdot \frac{n^5+1}{2^n+1} = \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n \cdot 2+1}{2^n+1} \cdot \frac{n^5+1}{(n+1)^5+1} =...}\)

W pierwszym ułamku dzielimy przez \(\displaystyle{ 2^n}\) w drugim przez \(\displaystyle{ n^5}\)

[praktyk]

zrobiłem tak jak radził Inkwizytor - w pierwszym ułamku wyszło 2, w drugim 1 czyli:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 1=2>1 \Rightarrow}\) rozbieżny

[kosmonaft]

A jak z tego drugiego dostałeś 1. Nie mam żadnego pomysłu jak podzielić na n^5

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{n^5+1}{(n+1)^5+1} = \frac{n^5 \left( 1 + \frac{1}{n^5} \right) }{n^5 \left( \left(1+ \frac{1}{n} \right)^5 + \frac{1}{n^5} \right)} = \frac{1+ \frac{1}{n^5}}{\left(1+ \frac{1}{n} \right)^5 + \frac{1}{n^5}}}\)