znajdź równanie prostej

[ola_wawa_pw]

Hej.

Męczę się nad dwoma zadaniami i już nie wiem jak się za nie zabrać. Proszę o podpowiedź.

zad.1
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,-1,4) i prostopadłej do prostej l: \(\displaystyle{ \begin {cases} x=2+t \\ y=1+3t\\ z=2t \end{cases}}\) oraz przecinającą prostą x=y=z.

zad.2
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez pkt. A(-1,0,2) i przecinającą prostopadle prostą l: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y=3\\ 7x+3z=33\end{cases}}\).

[oluch-na]

Odnośnie pierwszego:
\(\displaystyle{ \frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{1}}\)
więc wyciągamy z tego równania "punkt ruchomy" \(\displaystyle{ B(s, s, s)}\).
Wyznaczamy wektor
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[s-2, s+1, s-4]}\) i jest to wektor kierunkowy szukanej prostej.
Wiadomo, że dla prostej l wektor kier. to:
\(\displaystyle{ \vec{u}=[1,3,2]}\)
Wystarczy tylko zastosować warunek prostopadłości:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{u} = 0}\)
Wyliczone s wstawić do \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i mamy wszystko co potrzeba.

[irena_1]

2.
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x+3y=3 \\ 7x+3z=33 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases}x=3t\\y=1-2t \\ z=11-7t \end{cases}}\)

Szukana prosta:

\(\displaystyle{ m: \begin{cases} x=-1+as \\ y=bs\\z=2+cs \end{cases}}\)

Z warunku prostopadłości:
\(\displaystyle{ 3a-2b-7c=0}\)

z warunku współpłaszczyznowości:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-1&-1&-9\\3&-2&-7\\a&b&c\end{array}\right|=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a-2b-7c=0 \\ -11a-34b+5c=0 \end{cases} \\2b=3a-7c\\a=2c\\ \begin{cases} c=2\\b=-1\\a=4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ m: \begin{cases} x=-1+4s\\y=-s \\ z=2+2s \end{cases}}\)

[ola_wawa_pw]

W zad.1 z wykonanego rachunku \(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{u} =0}\) wyszło mi, że \(\displaystyle{ s=- \frac{7}{6}}\) , czyli \(\displaystyle{ \vec{AB} = \frac{1}{6} \cdot \left[ -5,13,-17\right]}\).
Powinno wyjść tak: \(\displaystyle{ x=2+5s\\y=-1-13t\\z=4+17 t \end{cases}}\), a wyszło tak: \(\displaystyle{ x=2-5s\\y=-1+13t\\z=4-17 t \end{cases}}\). Czy mogę jeszcze przed wektorem kierunkowym wyciągnąć "minus"?

Jeszcze pytanie do zad. 2 . Jak liczysz wyznacznik, to skąd wzięłaś wartości \(\displaystyle{ \left[ -1 ,- 1, 9 \right]}\)

[irena_1]

Do 1.- możesz zmienić znaki, czyli prosta:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=2+5s \\ y=-1-13t\\z=4+17t \end{cases}}\)
to ta sama prosta co prosta o równaniach;
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2-5s \\ y=-1+13s\\z=4-17s \end{cases}}\)

Współczynniki dobierane są z dokładnością do proporcjonalności.

W zad. 2.
Proste o równaniach:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=x_1+at \\ y=y_1+bt\\z=z_1+ct \end{cases} \ i\ k: \begin{cases}x=x_2+ks \\ y=y_2+ls\\z=z_2+ms \end{cases}}\)
leżą w jednej płaszczyźnie, jeśli:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\a&b&c\\k&l&m\end{array}\right|=0}\)