macierze nierówność

marek12 · Post autor: **marek12** » 30 sie 2010, o 16:00

Niech A, B, C będą rzeczywistymi macierzami . Pokaż nierówność \(\displaystyle{ \mathrm{tr}(A(A^{T}-B^{T})+B(B^{T}-C^{T})+C(C^{T}-A^{T}))\ge0.}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 30 sie 2010, o 16:10

Wskazówka: nierówność między średnimi.

Większa wskazówka:

max · Post autor: **max** » 30 sie 2010, o 16:17

Albo:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \langle (A_{1},A_{2},A_{3}), (B_{1},B_{2},B_{3})\rangle = \text{tr}(A_{1}B_{1}^{T} + A_{2}B_{2}^{T} + A_{3}B_{3}^{T})}\) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni trójek macierzy rzeczywistych i zastosujmy nierówność Cauchy'ego-Schwartza.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 30 sie 2010, o 16:24

Niby tak, ale sama nierówność Schwarza nie kończy rozwiązania, niemniej jednak zyskuje ono na przejrzystości zapisu.
EDIT: Widzę, że już usprawniłeś swoje rozwiązanie.