pochodna wielomianu

[ignis]

Witam mam taie pytanie otóż: Mamy wielomian dwóch zmiennych np \(\displaystyle{ f(x,y)}\) Czy istnieje jakieś twierdzenie mówiące, że pochodne tego wielomianu nie mają wspólnych czynników a mają tylko wspólne punkty \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\) takie, że \(\displaystyle{ f_{x}(x_{0}, y_{0})=f_{y}(x_{0}, y_{0})=0}\)??
Proszę o odpowiedź.
Pozdrawiam:)

[max]

Zakładamy jeszcze coś więcej o tym wielomianie?

Na ogół nie jest to prawda, weź np \(\displaystyle{ f(x,y) = x^{2}y}\), wtedy \(\displaystyle{ x\mid f'_{x}(x,y), f'_{y}(x,y)}\), czyli pochodne nie są względnie pierwsze.

[ignis]

hmm to chyba mam twierdzenie którego dowodu nie rozumiem:( mianowicie:

tw. A polynomial of degree \(\displaystyle{ d}\) with isolated critical points has at most \(\displaystyle{ (d-1)^{2}}\) critical points (counted with multiplicities)

proof: If \(\displaystyle{ f(x,y)}\) is a polynomial of degree \(\displaystyle{ d}\), then \(\displaystyle{ f_{x}=f_{y}=0}\) are algebraic curves of degree at most \(\displaystyle{ d-1}\). These curves have no common components since these components would consist entirely of critical points and hence not be isolated. The critical points of the polynomial occur at the intersections of these two curves, so by Bezout's theorem the total number of critical points is at most \(\displaystyle{ (d-1)^{2}}\)


skoro bzdurą jest to co napisałam to chyba z moim angielskim jeszcze nie jest najlepiej, mógłbyś napisać dlaczego te dwie krzywe, mowa o pochodnych cząstkowych \(\displaystyle{ f}\) nie mają wspólnych czynników oprócz tych punktów w ktorych się zerują? Bo z tego co widzę to o to w tym chodzi tylko nei wiem dlaczego... Proszę o pomoc.

[max]

Tutaj mamy coś trochę innego, mianowicie wiemy, że \(\displaystyle{ f'_{x}, f'_{y}}\) mają izolowane punkty krytyczne i z tego wnioskujemy, że krzywe te nie mają wspólnej składowej.

Te krzywe są nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), czy nad czymś jeszcze innym?
Jeśli nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), to wspólna składowa oznacza wspólny czynnik nierozkładalny. Ale nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) sprawa się trochę komplikuje, bo istnieją wielomiany nierozkładalne bez zer. I tu wyłazi moje niedouczenie, bo nie wiem jaka dokładnie jest algebraiczna konsekwencja nie posiadania wspólnej składowej krzywych algebraicznych nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Znasz może jakąś literaturę mówiącą o krzywych algebraicznych płaskich nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (w szczególności chętnie dowiedziałbym się co w takim przypadku oznacza twierdzenie Bezouta)?
(pytam z ciekawości, bo lubię rozumieć to co czytam)

[ignis]

hmm w artykule nie piszą nad jakim to jest ciałem, odwołanie jest do Fultona, więc to pewnie będzie coś miało z tym wspólnego na mój gust będzie to raczej \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) Fultona pewnie dobrze znasz jeśli nie to daję link;)

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

mam jeszcze "Elementary Geometry of algebraic curves" Gibsona jeśli chcesz to na maila podeślę:) Ja dopiero zagłębiam się w te rzeczy, chyba rzuciłam się trochę na głęboką wodę z tego co widzę:P no ale podobno to zawsze najlepiej kształci. Co z tego będzie... zobaczymy. Na razie dostaję za dużo informacji i są nie usystematyzowane:)

Pozdrawiam:)

hm a jeszcze... co oznacza wspólna składowa dwóch krzywych?? Jak to można interpretować?

[max]

Dobra, trochę poczytałem i chyba już wiem co tu się dzieje.

Po pierwsze twierdzenie, jak i cała publikacja z której to pochodzi: Counting critical points of real polynomials, jak tytuł wskazuje, dotyczy sytuacji rzeczywistej a w tym wypadku nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (są jeszcze inne ciała o podobnych własnościach nazywane ogólnie rzeczywiście domkniętymi, ale w tym wypadku chodzi tylko i wyłącznie o stare dobre \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

Dalej, komponent/składowa krzywej algebraicznej płaskiej, zgodnie z nazewnictwem stosowanym w książce Gibsona (który rozpatruje również krzywe nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)), to zbiór zer składowej nierozkładalnej wielomianu zadającego tę krzywą.

Ta definicja mnie trochę niepokoi w kontekście cytowanego dowodu, bo wówczas ma on pewną lukę.

Rozumowanie przebiega tam tak:
1. Krzywe zadane przez \(\displaystyle{ f'_{x},f'_{y}}\) nie mają wspólnego komponentu, bo inaczej na całym tym komponencie mielibyśmy wspólne zera pochodnych, czyli punkty krytyczne, które nie byłyby izolowane (to nie jest prawda przy powyższej definicji komponentu (*)).
2. Jedna ze słabych form twierdzenia Bézouta mówi, że jak mamy dwa względnie pierwsze wielomiany dwóch zmiennych nad dowolnym ciałem, to mają one co najwyżej tyle zer ile wynosi iloczyn stopni tych wielomianów. Skoro nasze wielomiany \(\displaystyle{ f'_{x},f'_{y}}\) nie mają wspólnego komponentu, to są względnie pierwsze i mamy co najwyżej \(\displaystyle{ (d-1)^{2}}\) wspólnych zer, bo \(\displaystyle{ d-1}\) jest górnym ograniczeniem stopni obu tych wielomianów.

(*) To nie jest prawda, bo nad ciałem nie algebraicznie domkniętym (jakim jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) komponent (przy powyższej definicji) może składać się z punktów izolowanych (np dla wielomianu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}}\)), czy nawet być pusty (np dla wielomianu \(\displaystyle{ x^{2} + 1}\)), więc nie ma sprzeczności kończącej dowód.

Żeby pozbyć się tej luki należałoby wykazać, że jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ g\in \mathbb{R}[x,y]}\) o izolowanych zerach, to ma on ich nie więcej niż wynosi jego stopień.
Istotnie, tylko komponenty o izolowanych zerach psują nasze rozumowanie w 1. (w przeciwnym razie mamy sprzeczność, tak jak chcieli autorzy).


Możliwe jednak, że korzystam ze złej definicji komponentu krzywej algebraicznej nad ciałem, które nie jest domknięte algebraicznie (ciężko mi znaleźć coś w książkach, bo zazwyczaj elementarne wstępy do geometrii algebraicznej pisane są właśnie przy założeniu algebraicznej domkniętości; a niestety chyba wbrew Twojemu przekonaniu nie bardzo orientuję się jeszcze w geometrii algebraicznej (mam kurs dopiero od października), w szczególności nie zadałem sobie nigdy trudu, żeby przeczytać większą część jakiegoś podręcznika, nawet jedynie na poziomie krzywych algebraicznych płaskich).

[max]

Odszczekuję częściowo to co napisałem wyżej. Gibson wyraźnie definiuje krzywą algebraiczną jako wielomian, a przez komponent takiej krzywej rozumie składową nierozkładalną tegoż wielomianu.
Niestety przy takiej definicji dowód z artykułu też nie działa z dokładnie tego samego powodu.

Niemniej jednak twierdzenie z artykułu jest prawdziwe, bowiem nad liczbami rzeczywistymi można pokazać nieco mocniejszą wersję słabego twierdzenia Bézouta:
Jeśli wielomiany \(\displaystyle{ f,g\in\mathbb{R}[x,y]}\) stopni odpowiednio \(\displaystyle{ m,n}\) mają skończenie wiele wspólnych zer, to mają ich nie więcej niż \(\displaystyle{ mn}\) (licząc z krotnościami).
(a przynajmniej wydaje mi się, że dowód (, theorem 2.), który przed chwilą widziałem dla sytuacji bez uwzględniania krotności da się uogólnić; mogę napisać jak to sobie wyobrażam).

Z tego twierdzenia zastosowanego dla pochodnych cząstkowych naszego wielomianu dostajemy tezę przy dodatkowym założeniu, że \(\displaystyle{ f}\) ma skończenie wiele punktów krytycznych (założenie to w rzeczywistości wynika już z założenia, że punkty krytyczne są izolowane, bowiem zbiory algebraiczne nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) są skończone lub mocy continuum (a zbiór mocy continuum ma punkt skupienia w przestrzeni metrycznej ośrodkowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\)); niestety fakt ten jest chyba dość nieelementarny (nie umiem go pokazać bez twierdzenia Tarskiego-Seidenberga)).