Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

[Szymek10]

Witam,
proszę o pomoc z następującym problemem.

Równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego z tłumieniem ma postać
\(\displaystyle{ \frac{ d^{2}x }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x=0}\)

gdzie x-położenie, \(\displaystyle{ \alpha}\) - stała tłumienia, \(\displaystyle{ \omega _{0}}\)- częstość drgań własnych.
Wykazać że rozwiązanie tego równania ma postać \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)
( A jest amplitudą zależną od warunku początkowego) i znaleźć stałe \(\displaystyle{ \beta , \omega _{r}}\).

Z góry wielkie dzięki za pomoc!

[luka52]

Wykazać że rozwiązanie tego równania ma postać \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)

No nie do końca tak jest, tzn. musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \alpha^2 < \omega_0^2}\) - wtedy rzeczywiście będzie to ruch tłumiony.
Co do samej postaci rozwiązania, to również nie do końca jest to prawda Można podejrzewać, że skoro sinus jest dobrym rozwiązaniem, to i kosinus również. I rzeczywiście tak jest - dlatego należałoby dopisać fazę początkową w argumencie sinusa, ale mniejsza o to.
Jeżeli teoria równań różniczkowych jest Ci obca, wystarczy jak wstawisz przepis na \(\displaystyle{ x(t)}\) do równania, a jeżeli nie, to po prostu je rozwiąż. Szukane stałe można łatwo wyznaczyć właśnie wstawiając \(\displaystyle{ x(t)}\) do równania.

[Szymek10]

Mógłbyś rozwinąć bo nadal nie za bardzo to widzę...

[luka52]

Tzn. co nie jest zrozumiałe?

[Szymek10]

Tzn do równania ruchu wstawiamy przepis na x(t) , tak ? Czy ogólny wzór równania ruchu trzeba przekształcić ?

[luka52]

To \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\) wstaw do \(\displaystyle{ \frac{ d^{2}x }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2}x=0}\).

[Szymek10]

czyli

\(\displaystyle{ \frac{ (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'' }{dt ^{2} } + 2 \alpha \frac{(Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'}{dt} + \omega_{0}^{2}Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)=0}\) , tak ?

wybacz że wszystko tak łopatologicznie ale r-nia różniczkowe w fizyce to nie jest moja mocna strona

[miki999]

Zapis do bani.

Jak robisz"
\(\displaystyle{ (...)''}\)
to nie piszesz w mianowniku \(\displaystyle{ dt^2}\).

[Szymek10]

Myślałem że to zmieniłem , mój błąd.

\(\displaystyle{ { (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))'' } + 2 \alpha (Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t))' + \omega_{0}^{2}Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)=0}\)

Jak wygląda różniczkowanie takiej funkcji ? Pierwszy raz spotykam się z funkcją exp

"Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: exp(x)"

zamieniamy na log ?

[luka52]

Różniczkowanie funkcji złożonej + podstawowe wzory na pochodne.
forum45.htm lub 206123.htm lub jeszcze wikipedia.

[Szymek10]

Zgadza się.

Zacznijmy od pochodnej \(\displaystyle{ Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\) korzystając ze wzoru na iloczyn pochodnych \(\displaystyle{ (f\cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'}\) czyli i tak zaczynamy od policzenia \(\displaystyle{ (sin(\omega _{r}t))' = \omega_{r}cos(\omega_{r}t)}\) oraz \(\displaystyle{ (Aexp(- \beta t))'=...}\) no i właśnie co z tym exp ?-- 30 sierpnia 2010, 16:15 --a więc po zróżniczkowaniu i uproszczeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (\beta ^{2} - \omega_{r}^{2} + \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \beta )(Aexp(- \beta t)sin(\omega_{r}t + \varpi) + (2 \alpha \omega_{r} - 2 \beta \omega_{r} ) (Aexp(- \beta t)cos(\omega_{r}t + \varpi)}\)

teraz, aby wykazać iż równa się to rozwiązaniu \(\displaystyle{ x(t)=Aexp(- \beta t)sin(\omega _{r}t)}\)
musimy wprowadzić dwa warunki \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \omega_{r} = sqrt(\omega_{0}^{2} - \alpha ^{2})}\). Prosiłbym o wytłumaczenie skąd się biorą właśnie te dwa warunki ?