Funkcje całkowite przenoszące okrąg w okrąg

[max]

Niech \(\displaystyle{ C_{1},C_{2}}\) będą okręgami na płaszczyźnie zespolonej.
Znajdź wszystkie funkcje całkowite \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f(C_{1}) \subset C_{2}}\).

[Wasilewski]

Może poratujesz jakąś wskazówką?
Na razie mam tylko pewne poszlaki; jestem prawie przekonany, że to zawieranie musi być równością, bowiem \(\displaystyle{ f(C_{1})}\), musi być domkniętym łukiem w \(\displaystyle{ C_{2}}\) (spójność i zwartość), a ponadto \(\displaystyle{ C_{2}}\) musi być w obrazie cały poza najwyżej jednym punktem (twierdzenie Picarda), więc jakby coś spoza \(\displaystyle{ C_{1}}\) przechodziło na część \(\displaystyle{ C_{2}}\), to pewnie gładkość tego przekształcenia nie byłaby zachowana. Jeśli to jest prawda, to ze spójności wynika, że obraz koła otwartego zawartego w \(\displaystyle{ C_{1}}\) musi być w całości zawarty albo w kole otoczonym przez \(\displaystyle{ C_{2}}\) bądź poza nim, ale ten drugi przypadek też wydaje mi się nieprawdopodobny (na oko psułaby się gdzieś holomorficzność).
Jak widać jednak są to jedynie luźne przemyślenia w ogóle niezwiązane ze ścisłym rozumowaniem.

[max]

Luźna wskazówka:    

Może dobrym pomysłem byłoby przyjrzenie się jakiemuś szczególnemu przypadkowi?

[xiikzodz]

Luźna próba rozwiązania:

Za wskazówką niech \(\displaystyle{ C_1=C_2=S}\) będzie okręgiem jednostkowym, zaś \(\displaystyle{ f}\) funkcją całkowitą spełniającą \(\displaystyle{ f(S)\subseteq S}\).

Rozważmy na sferze Riemanna inwersję:

\(\displaystyle{ \iota(z)=\overline{z^{-1}}}\).

Nie jest to funkcja holomorficzna, ale ma miłe własności, np. \(\displaystyle{ \iota\circ\iota=\mbox{id}}\) oraz \(\displaystyle{ \iota|S=\mbox{id}|S}\). Co więcej funkcja:

\(\displaystyle{ g=\iota\circ f\circ\iota}\)

jest meromorficzna, o czym łatwo się przekonać wypisując równania C-R. Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ f|S=g|S}\), zatem \(\displaystyle{ f=g}\). Skąd krotność bieguna \(\displaystyle{ f}\) w nieskończoności, równa krotności zera \(\displaystyle{ f}\) w zerze jest liczbą skończoną, zatem \(\displaystyle{ f}\) jest wielomianem, a dokładniej \(\displaystyle{ f(z)=\varepsilon z^n}\) dla \(\displaystyle{ |\varepsilon|=1}\).

[max]

: )
To jest najbardziej eleganckie rozwiązanie jakie znam (oczywiście przypadek ogólny załatwia się dalej sam).