Witam.
Chciałabym aby ktoś krok po kroku wytłumaczył mi rozwiązanie zadania takiego typu:
Oszacuj błąd bezwzględny przybliżonego wzoru \(\displaystyle{ \sqrt [3]{1+x}\approx 1+\frac{x}{3}}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<\frac{1}{10}}\).
Z góry dziękuję.
Oszacuj błąd
-
gambler00001
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 kwie 2010, o 18:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
Oszacuj błąd
Ostatnio zmieniony 25 sie 2010, o 22:02 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
szw1710
Oszacuj błąd
Zapisz wzór Maclaurina dla \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{1+x}}\) z resztą w postaci drugiej pochodnej i oszacuj tę pochodną (a dokładniej - resztę) w podanym przedziale. Reszta to różnica pomiędzy wartością dokładną, a przybliżoną, czyli właśnie błąd przybliżenia.
-
gambler00001
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 kwie 2010, o 18:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
-
szw1710
Oszacuj błąd
Wzór jest, ale trudno stamtąd czegoś się nauczyć.
Dobra, oto rozwiązanie.
Wzór Maclaurina z resztą zależną od drugiej pochodnej:
\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(c)}{2}x^2}\),
gdzie przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), punkt \(\displaystyle{ c}\) jest pośredni pomiędzy \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ x}\).
W naszym przypadku, dla \(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}}\) mamy
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}},\quad f'(0)=\frac{1}{3}}\),
\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}}}\), czyli
\(\displaystyle{ f''(c)=-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}}\)
Zatem podstawiając to do wzoru Maclaurina mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in(0,0.1)}\) istnieje \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\) takie, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)
Zapisujemy to teraz tak:
\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|= \left|\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2 \right|=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)
Po prostu przenieśliśmy wszystko na lewo pozostawiając resztę po prawej i obłożyliśmy modułem. Teraz należy oszacować to po prawej dla \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\). Ale tutaj mianownik jest większy od 1, więc ułamek jest mniejszy od 1, więc
\(\displaystyle{ \frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2<\frac{2}{9}x^2}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|<\frac{2}{9}x^2<\frac{2}{9}\cdot 0.01=\frac{2}{900}}\)
(bo mieliśmy \(\displaystyle{ 0<x<0.1}\)) i tenże ułamek stanowi oszacowanie rzeczonego błędu.
Uff... narobiłem się z tym postem. Mam nadzieję, że nie machnąłem się w rachunkach. Raz poprawiałem od połowy
Dobra, oto rozwiązanie.
Wzór Maclaurina z resztą zależną od drugiej pochodnej:
\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(c)}{2}x^2}\),
gdzie przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), punkt \(\displaystyle{ c}\) jest pośredni pomiędzy \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ x}\).
W naszym przypadku, dla \(\displaystyle{ f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}}\) mamy
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}},\quad f'(0)=\frac{1}{3}}\),
\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}}}\), czyli
\(\displaystyle{ f''(c)=-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}}\)
Zatem podstawiając to do wzoru Maclaurina mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in(0,0.1)}\) istnieje \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\) takie, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)
Zapisujemy to teraz tak:
\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|= \left|\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2 \right|=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2}\)
Po prostu przenieśliśmy wszystko na lewo pozostawiając resztę po prawej i obłożyliśmy modułem. Teraz należy oszacować to po prawej dla \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\). Ale tutaj mianownik jest większy od 1, więc ułamek jest mniejszy od 1, więc
\(\displaystyle{ \frac{2}{9}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(1+c)^5}}x^2<\frac{2}{9}x^2}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{1}{3}x \right|<\frac{2}{9}x^2<\frac{2}{9}\cdot 0.01=\frac{2}{900}}\)
(bo mieliśmy \(\displaystyle{ 0<x<0.1}\)) i tenże ułamek stanowi oszacowanie rzeczonego błędu.
Uff... narobiłem się z tym postem. Mam nadzieję, że nie machnąłem się w rachunkach. Raz poprawiałem od połowy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Oszacuj błąd
Rozwiązanie jest OK, ale...
W tym konkretnym przypadku chciałbym jednak zauważyć, że to oszacowanie jest mocno zgrubne, bo akurat funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}\right|}\) jest monotoniczna w podanym przedziale (innymi słowy wiemy, jakie \(\displaystyle{ c}\) podstawić dla \(\displaystyle{ x=0,1}\), co daje dużo lepsze oszacowanie). Błąd będzie tu równy \(\displaystyle{ g(0,1)}\).
Zauważenie wspomnianej monotoniczności upraszcza znacznie to zadanie (poprawcie mnie, jeśli się mylę )
W tym konkretnym przypadku chciałbym jednak zauważyć, że to oszacowanie jest mocno zgrubne, bo akurat funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\left|\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}\right|}\) jest monotoniczna w podanym przedziale (innymi słowy wiemy, jakie \(\displaystyle{ c}\) podstawić dla \(\displaystyle{ x=0,1}\), co daje dużo lepsze oszacowanie). Błąd będzie tu równy \(\displaystyle{ g(0,1)}\).
Zauważenie wspomnianej monotoniczności upraszcza znacznie to zadanie (poprawcie mnie, jeśli się mylę )