Transformaty Laplace'a

[minski]

Witam
Uczę się do poprawki z matematyki i szukam porady na temat Transformat Laplace'a

Znaleźć transformaty następujących oryginałów:

a) \(\displaystyle{ t^{2} \cdot sin4t}\)

b) \(\displaystyle{ sin^{2}2t}\)

c) \(\displaystyle{ 2(sint - tcost)}\)

d) \(\displaystyle{ tcos(2t)}\)

Poszukuję sposobu na rozwiązanie tych zadań, najlepiej krok po kroku. Będę dozgonnie wdzięczny
Pozdrowienia dla administratorów.

[pajong8888]

Niech F(z)=L(f(t))
a)\(\displaystyle{ f(t)=\sin 4t}\)
Jest własność:
\(\displaystyle{ L(t^nf(t))=(-1)^nF^{(n)}(z)}\)

\(\displaystyle{ F(z)= \int_{0}^{\infty} e^{-zt}sin4tdt=-\frac{1}{4}[e^{-zt}\cos 4t]_{0}^{\infty}-\frac{z}{4}\int_{0}^{\infty}e^{-zt}\cos 4tdt=-\frac{1}{4}[e^{-zt}\cos 4t]_{0}^{\infty}-\frac{z}{16}[e^{-zt}\sin 4t]_{0}^{\infty}-\frac{z^2}{16}\int_{0}^{\infty}e^{-zt}\sin 4tdt}\)
\(\displaystyle{ \frac{z^2+16}{16}\int_{0}^{\infty} e^{-zt}sin4tdt=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ F(z)=4z^2+64}\)
\(\displaystyle{ F''(z)=8}\)
\(\displaystyle{ L(t^2\sin 4t)=8}\)

-- 25 sie 2010, o 17:12 --

b)
Najpierw obliczę całkę nieoznaczoną (będę omijał stałe).
Niech:
A=\(\displaystyle{ \int \sin^2 2tdt}\)
B=\(\displaystyle{ \int \cos^2 2tdt}\)
\(\displaystyle{ A+B=\int dt=t}\)
\(\displaystyle{ B-A=\int \cos 4tdt=\frac{1}{4}\sin 4t}\)

\(\displaystyle{ 2A=t-\frac{1}{4}\sin 4t\Rightarrow A=\frac{t}{2}-\frac{1}{8}\sin 4t}\)

\(\displaystyle{ F(z)= \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \sin^2 2t dt=[e^{-zt}(\frac{t}{2}-\frac{1}{8}\sin 4t)]_{0}^{\infty}+\frac{z}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} t dt -\frac{z}{8}\int_{0}^{\infty} e^{-zt}\sin 4t dt=*}\)
Tu zatrzymam się prze chwilę. Ostatnia całka jak widzimy pojawiła się w przykładzie powyższym. W tym przykładzie od razu będę zamieniał z granic wszystko co się da na liczby.
\(\displaystyle{ *=0+\frac{z}{2}\{[\frac{-1}{z}e^{-zt}t]_{0}^{\infty}+ \frac{1}{z}\int_{0}^{\infty} e^{-zt} dt\}-\frac{z}{8}(4z^2+64)=**}\)
Tu znów się zatrzymamy:)
Wyliczyć trzeba granicę, skorzystam z reguły de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to\infty } \frac{t}{e^{zt}}= \lim_{ t\to\infty } \frac{1}{ze^{zt}}=0}\)
\(\displaystyle{ **=0-\frac{1}{2z}[e^{-zt}]_{0}^{\infty}-\frac{z^3}{2}-8z=\frac{1}{2z}-\frac{z^3}{2}-8z}\)
\(\displaystyle{ L(\sin^2 2t)=\frac{1}{2z}-\frac{z^3}{2}-8z}\)

-- 25 sie 2010, o 17:18 --

W c)
Skorzystaj z własności, że:
\(\displaystyle{ L(c_1f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1L(f_1(t))+c_2L(f_2(t))}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ L(2(\sin t- t\cos t))=2L(\sin t)-2L(t\cos t)}\)
Oprócz tego proponuję skorzystać z własności z podpunktu a)
\(\displaystyle{ L(t\cos t)=(-1)L'(\cos t)}\)
A transformaty z sinusa i cosinusa oblicz całkując przez części. Zostawiam to dla Ciebie.

-- 25 sie 2010, o 17:23 --

w d):
najpierw skorzystaj z własności podanej w podpunkcie a), czyli:
\(\displaystyle{ L(t\cos 2t)=(-1)L(\cos 2t)}\)
Teraz można zastosować inną własność, której wcześniej nie zauwazyłem i niepotrzebnie męczyłem się z poprzednimi całkami, czyli:
\(\displaystyle{ L(f(\alpha t))=\frac{1}{\alpha}F(\frac{z}{\alpha})}\)
gdzie\(\displaystyle{ F(z)=L(f(t))}\)
Więc:
\(\displaystyle{ L(\cos 2t)=\frac{1}{2}F(\frac{z}{2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ F(z)=L(\cos t)}\)