Pochodona Krysicki

[doop]

Natrafiłem na problem:
zadanie 6.104 Krysicki

\(\displaystyle{ y = \frac{x}{sinx + cosx}}\)

Proszę o pomoc. W jakiej kolejności wykonywać działania? Jak traktować sinusy i cosinusy w mianowniku? Czy pochodna z nich bedzie = \(\displaystyle{ -cosx + sinx}\)?

[miodzio1988]

Nie. Pochodna mianownika jest inna.

Korzystasz ze wzoru na pochodną ilorazu

[doop]

Pomyliłem się, miałem na myśli: \(\displaystyle{ cosx - sinx}\) czy teraz pochodna się zgadza?

[miodzio1988]

Zgadza się.

[gott314]

Najpierw stosujesz wzór na pochodną ilorazu

\(\displaystyle{ (\frac{x}{sinx + cosx})'=\frac{(x)'\cdot (sinx + cosx)-(sinx + cosx)'\cdot x}{(sinx + cosx)^2}}\).

Później liczysz pochodne z:

\(\displaystyle{ sinx + cosx}\),

\(\displaystyle{ x}\),

i mnożysz przez siebie odpowiednie wyrazy.

[doop]

Dochodzę do tego momentu:
\(\displaystyle{ \frac{sinx + cosx - cosx^{2} + sinx^{2}}{(sinx+cosx)^{2}}}\)

co dalej?

[miodzio1988]

Jest źle. Po minusie wszystkie wyrazy są do bani

[doop]

\(\displaystyle{ \frac{sinx + cosx - x(cosx - sinx)}{(sinx+cosx)^{2}}}\)

teraz jest poprawnie?

[miodzio1988]

Zgadza się.

[doop]

W takim razie co dalej? W jaki sposób mogę to skrócić?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ sinx + cosx}\) wystaw przed nawias w liczniku

[doop]

Okej już wiem, nie trzeba wyciągać przed nawias, wystarczy podnieś to wyrażenie do potęgi 2 i wychodzi = \(\displaystyle{ sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinxcosx = 1 + sin2x}\)
z odpowiedziami się zgadza, jakieś zastrzeżenia?

[miodzio1988]

Żadnych ;] Gratuluję dobrze zrobionego zadania

[doop]

Dziękuję za pomoc