Zbieżność szeregu

[karolina109]

zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }= \frac{1}{nlnn ^{2} }}\)

-- 25 sie 2010, o 07:48 --

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }= \frac{1}{nlnn ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \int_{2}^{ \infty }\frac{dx}{xlnx ^{2} } = \lim_{k \to \infty } \int_{2}^{k} \frac{dx}{xlnx ^{2} }}\) i nie wiem co dalej zrobić
tak powinno być?

[Kamil_B]

Ta pierwsza równośc coś nie bardzo zachodzi.
Dalej- jeśli tam jest \(\displaystyle{ \ln(x^2)}\), to zauważ, że \(\displaystyle{ \ln(x^2)=2\ln(x)}\).
Teraz podstaw \(\displaystyle{ t=\ln(x)}\), bo jak rozumiem chcesz skorzystać z kryterium całkowego.

[karolina109]

ale to co jest zle w tym co napisałam???

[Kamil_B]

Zapis pierwszych równości np. \(\displaystyle{ \frac{1}{nlnn ^{2} }= \int_{2}^{ \infty } \frac{dx}{xlnx ^{2} }}\). ale to pewnie jakaś literówka ( znak = nie w tym miejscu co trzeba)

[karolina109]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{xlnx ^{2} } = \left|t=lnx; dt= \frac{1}{x}dx \right| = \frac{1}{2t}}\)teraz dobrze??

[Kamil_B]

Zgubiłaś znak calki - powinno być \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{2t}}\).

[karolina109]

ale teraz nie wiem jak to obliczyc dalej poniewaz jesli zrobię \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{2t}= \frac{1}{2} \int_{}^{} t ^{-1}dt}\)to bedzie dobrze??

[Kamil_B]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t}=\ln(t)+C}\)

[karolina109]

\(\displaystyle{ 2ln(x)+c}\)???

[Kamil_B]

U Ciebie \(\displaystyle{ t=lnx}\), więc nie bardzo.

[karolina109]

to logarym bedzie do kawdratu???

[Kamil_B]

Będzie \(\displaystyle{ 2\ln(\ln(x))+C}\).

[karolina109]

i co dalej teraz mam z tym zrobic???

[Fingon]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }= \frac{1}{nlnn ^{2} }}\) Jest zbieżny, co wynika z kryterium porównawczego i tego, że szereg harmoniczny rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{\alpha} }}\), jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha > 1}\) i rozbieżny w przeciwnym wypadku.
Nie wiem dlaczego w ogóle się tu całki pojawiły.

[karolina109]

o tylko tyle wystarczy
???