różniczkowanie po parametrze
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
różniczkowanie po parametrze
Cześć!
Zadanie jest chyba proste, ale mimo to nie specjalnie umiem je zrobić. Należy znaleźć \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial \mu}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mu = 0}\). Dane równanie to:
\(\displaystyle{ x' = x + \mu (1+x^2), x(0) = 1}\).
Z góry dziękuję za odpowiedź!
Zadanie jest chyba proste, ale mimo to nie specjalnie umiem je zrobić. Należy znaleźć \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial \mu}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mu = 0}\). Dane równanie to:
\(\displaystyle{ x' = x + \mu (1+x^2), x(0) = 1}\).
Z góry dziękuję za odpowiedź!
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
różniczkowanie po parametrze
Hmm jesli dobrze widzę, to wystarczy podstawić \(\displaystyle{ \mu=0}\)
różniczkowanie po parametrze
Można też skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial t } \frac{ \partial x }{ \partial \mu} = D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) \frac{ \partial x }{ \partial \mu} + \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )}\)
Najczęściej się wykorzystuje właśnie ten wzór do liczenia tego typu zadań. Jeśli jest niezrozumiały ten wzór to mogę go wytłumaczyć na przykładzie ( dla mnie na początku troszkę był)
\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial t } \frac{ \partial x }{ \partial \mu} = D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) \frac{ \partial x }{ \partial \mu} + \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )}\)
Najczęściej się wykorzystuje właśnie ten wzór do liczenia tego typu zadań. Jeśli jest niezrozumiały ten wzór to mogę go wytłumaczyć na przykładzie ( dla mnie na początku troszkę był)
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
różniczkowanie po parametrze
Teraz jak tak patrzę, to ta funkcja \(\displaystyle{ x}\) jest jakiej zmiennej ? \(\displaystyle{ t}\) czy \(\displaystyle{ \mu}\) ?
różniczkowanie po parametrze
E tam Zdarza się nawet najlepszym.
I to równanie które podałem to równanie na wariację . Jeśli trzeba coś z tym równaniem wytłumaczyć to chętnie to zrobię. Brak \(\displaystyle{ t}\) po prawej stronie bardzo bardzo ułatwi obliczenia
I to równanie które podałem to równanie na wariację . Jeśli trzeba coś z tym równaniem wytłumaczyć to chętnie to zrobię. Brak \(\displaystyle{ t}\) po prawej stronie bardzo bardzo ułatwi obliczenia
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
różniczkowanie po parametrze
dzięki wam wszystkim za odpowiedzi.
Faktycznie pierwsza wskazówka troszkę mnie zmyliła, no bo x cały czas zostanie.
Wzór który napisałeś, miodzio1988, jest dla mnie wprawdzie nie do końca zrozumiały, ale znam inny dość podobny, więc podejrzewam, że może to być ten sam (nie wiem co znaczy u ciebie to \(\displaystyle{ D _{f} _{x}}\). )
Generalnie wiem jak robić tego typu zadania, np. jeśli różniczkowanie jest po warunku początkowym. (Liczę pochodną po tym warunku w danym punkcie i następnie dostaję równanie różniczkowe ze zmienną u gdzie \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial x_{0}} = u}\). Ale w tym wypadku jeśli też stosuję tę procedurę to zostaje mi sam \(\displaystyle{ x}\) i równanie jakie otrzymuję ma zmienne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ u}\). Nie wiem czy to jasno opisałem.
Zatem, miodzio1988, chętnie posłucham wyjaśnień odnośnie tego wzoru a jednocześnie gdybyś mógł się jakoś odnieść do opisanego przeze mnie sposbu rozwiązania byłbym bardzo wdzięczny:)
Faktycznie pierwsza wskazówka troszkę mnie zmyliła, no bo x cały czas zostanie.
Wzór który napisałeś, miodzio1988, jest dla mnie wprawdzie nie do końca zrozumiały, ale znam inny dość podobny, więc podejrzewam, że może to być ten sam (nie wiem co znaczy u ciebie to \(\displaystyle{ D _{f} _{x}}\). )
Generalnie wiem jak robić tego typu zadania, np. jeśli różniczkowanie jest po warunku początkowym. (Liczę pochodną po tym warunku w danym punkcie i następnie dostaję równanie różniczkowe ze zmienną u gdzie \(\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial x_{0}} = u}\). Ale w tym wypadku jeśli też stosuję tę procedurę to zostaje mi sam \(\displaystyle{ x}\) i równanie jakie otrzymuję ma zmienne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ u}\). Nie wiem czy to jasno opisałem.
Zatem, miodzio1988, chętnie posłucham wyjaśnień odnośnie tego wzoru a jednocześnie gdybyś mógł się jakoś odnieść do opisanego przeze mnie sposbu rozwiązania byłbym bardzo wdzięczny:)
różniczkowanie po parametrze
No to na innym przykładzie pokażę jak to działa ( mam nadzieję, że to pamiętam jeszcze ).
\(\displaystyle{ x'= x+ \mu \cdot (t+x ^{2} )}\)
Wyznaczamy to samo przy takim samym warunku początkowym.
\(\displaystyle{ ( x (t, \mu _{0})= e ^{t}}\)
bo wstawiamy za \(\displaystyle{ \mu}\) liczbę zero i rozwiązujemy równanie :
\(\displaystyle{ x'=x}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ x=e ^{t}}\)
(stałą pomijamy)
Małe \(\displaystyle{ f}\) to prawa strona równania.
\(\displaystyle{ D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )=D _{ f _{x} } ( e ^{t} , t, 0 ) =1}\)
Liczymy pochodną po \(\displaystyle{ x}\) i wstawiamy nasze dane.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) = t+ e ^{2t}}\)
Najpierw liczymy pochodną później wstawiamy nasze dane.
No i teraz wszystko wstawiamy do naszego równania i wychodzi piękne równanie różniczkowe.
Żeby się nie mieszało można zapisać:
\(\displaystyle{ z= \frac{ \partial x }{ \partial \mu}}\)
Wychodzi równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial t} =z+ e ^{2t} +t}\)
\(\displaystyle{ x'= x+ \mu \cdot (t+x ^{2} )}\)
Wyznaczamy to samo przy takim samym warunku początkowym.
\(\displaystyle{ ( x (t, \mu _{0})= e ^{t}}\)
bo wstawiamy za \(\displaystyle{ \mu}\) liczbę zero i rozwiązujemy równanie :
\(\displaystyle{ x'=x}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ x=e ^{t}}\)
(stałą pomijamy)
Małe \(\displaystyle{ f}\) to prawa strona równania.
\(\displaystyle{ D _{ f _{x} } ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} )=D _{ f _{x} } ( e ^{t} , t, 0 ) =1}\)
Liczymy pochodną po \(\displaystyle{ x}\) i wstawiamy nasze dane.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial \mu} ( x (t, \mu _{0}) , t, \mu _{0} ) = t+ e ^{2t}}\)
Najpierw liczymy pochodną później wstawiamy nasze dane.
No i teraz wszystko wstawiamy do naszego równania i wychodzi piękne równanie różniczkowe.
Żeby się nie mieszało można zapisać:
\(\displaystyle{ z= \frac{ \partial x }{ \partial \mu}}\)
Wychodzi równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial t} =z+ e ^{2t} +t}\)