Izometria przestrzeni C^n i do niej sprzężonej

[elodymek]

Niech \(\displaystyle{ E=\mathbb{C}^n,\ n\in\mathbb{N}}\) z normą Euklidesową, \(\displaystyle{ x=(x_k)_{k=1}^n\in E}\). Wówczas \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{C}^n}\ x=\sum_{k=1}^n x_ke_k}\), gdzie \(\displaystyle{ e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)}\). Niech \(\displaystyle{ f\in(\mathbb{C}^n)^*}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_kf(e_k)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k,\ y_k:=f(e_k).}\) Zatem\(\displaystyle{ \\\forall_{f\in(\mathbb{C}^n)^*}\exists!_{(y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k,\ x=(x_k)_{k=1}^{n}}\).
Z drugiej strony wzór:
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\), gdzie \(\displaystyle{ (y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\) - ustalony wektor w \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\), definiuje funkcjonał liniowy ciągły na \(\displaystyle{ \matbb{C}^n}\).
Można zdefiniować odwzorowanie:

\(\displaystyle{ \varphi:(\mathbb{C}^n)^*\to\mathbb{C}^n}\)

\(\displaystyle{ \varphi(f)=y=(y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\)

.

Wówczas \(\displaystyle{ \varphi}\) jest bijekcją liniową.
Chcę udowodnić, że również \(\displaystyle{ ||\varphi(f)||=||f||}\).
W jedną stronę:
\(\displaystyle{ ||f||=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|f(x)|}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|\sum_{k=1}^{n}x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sum_{k=1}^{n}|x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_k^2}}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{||x||\cdot||y||}{||x||}=||y||=||\varphi(f)||}\)

Czy może ktoś uzasadnić nierówność w druga stronę, albo dać jakąś wskazówkę???

[Wasilewski]

W drugą stronę jest prościej, ponieważ \(\displaystyle{ \frac{|f(y)|}{\|y\|} = \|y\|}\), a supremum jest nie mniejsze niż to.
I jeśli to ma być \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n}}\) to iloczyn skalarny powinien raczej tak wyglądać:
\(\displaystyle{ <x,y> = \sum_{k=1}^{n} x_{k}\overline{y_{k}}}\).

[Ein]

Wasilewski ma rację. Należy przyjąć, że \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^n x_k\overline{y_k}}\). Dopiero teraz \(\displaystyle{ \frac{|f(y)|}{\Vert y\Vert}=\Vert y\Vert}\).

Sprzężenie można by pominąć, gdybyśmy rozważali przestrzeń rzeczywistą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

[elodymek]

Jasne, ale tu nie chodzi o postać iloczynu skalarnego na przestrzeni Hilberta, co do którego oczywiście zgadzam się z wami, tylko o ogólną postać funkcjonałów liniowych ciągłych na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\). Niepotrzebny tu jest iloczyn.

[Wasilewski]

No dobra, ale norma na pewno powinna tak wyglądać:
\(\displaystyle{ \|(x_{1},\ldots,x_{n})\| = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{2}}}\).
No i w takim wypadku mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|f(\overline{y})|}{\|y\|} = \|y\|}\).

[Ein]

Jasne, ale tu nie chodzi o postać iloczynu skalarnego na przestrzeni Hilberta, co do którego oczywiście zgadzam się z wami, tylko o ogólną postać funkcjonałów liniowych ciągłych na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\). Niepotrzebny tu jest iloczyn.

Ale jaki problem dodać do ogólnej postaci sprzężenie? \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jest zamknięty na sprzężenie (jest to bijekcja \(\displaystyle{ \overline{\cdot}:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}\)). Postać ze sprzężeniem będzie zgodna z postacią Riesza.