losowanie kul

[milena_sam]

Mam problem z zadaniem:

" W każdej z dziesięciu urn znajdują się dwie kule, oznaczone liczbami, przy czym w i-tej urnie znajdują się kule oznaczone liczbą i. Losujemy kulę z urny 1 i przekładamy ją do urny 2. Następnie (po wymieszaniu kul) losujemy kulę z runy 2 i przekładamy do urny 3, itd., kulę wylosowaną z urny 9 przekładamy do urny 10, wreszcie losujemy kulę z urny 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta ostatnia wylosowana kula ma numer większy niż 6?"

Odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{80}{81}}\), ale nie mam pojęcia jak się za to zadanie zabrać, żeby wyszedł mi ten wynik. Z góry dziękuję za pomoc

[Morgus]

Olewamy pierwsze sześć losowań. Wiadomo, że po wylosowaniu kuli z urny 6 i po przełożeniu jej do urny 7, w urnie 7 będziemy mieć dwie kule, które są większe od 6(nazwijmy je zwycięskimi) i jedną, która jest mniejsza lub równa 6(przegrane). Prawdopodobieństwo że z urny 7 wylosujemy kulę zwycięską (wtedy z urny 10 też na pewno wylosujemy zwycięską) wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Jeżeli natomiast wylosujemy kulę przegraną (pstwo \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)) to znajdziemy się z urną 8 w takiej samej sytuacji jak byliśmy z urną 7. Więc prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę zwycięską z urny 8 wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), ale należy uwzględnić, że wcześniej musieliśmy wylosować kulę przegraną z urny 7, więc całkowite pstwo wylosowania kuli zwycięskiej z urny 8(a wtedy także na pewno i z 10) wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}\). Postępujemy analogicznie aż do urny 10, z której pstwo wylosowania kuli zwycięskiej wynosi: \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \frac{2}{3}}\). Teraz sumujemy wszystkie opcje zwycięstwa otrzymując rozwiązanie zadania:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \frac{2}{3}=\frac{54+18+6+2}{81}=\frac{80}{81}}\)

[milena_sam]

Dzięki, teraz zadanie stało się jasne.