powierzchnia xyz

[marysia324]

na powierzchni \(\displaystyle{ xyz=1}\) wyznaczyć punkt, który leży najbliżej początku układu współrzędnych

[Inkwizytor]

Dana bedzie dana powierzchnia \(\displaystyle{ \alpha : xyz -1 =0}\)
Niech \(\displaystyle{ A \in \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ A=(x,y, \frac{1}{xy})}\)

Odległośc (d) punktu (0,0,0) od A mozemy obliczyć ze wzoru na odległośc punktów od siebie w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Stąd \(\displaystyle{ d= \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2} }}\) i szukamy minimum funkcji d(x,y)
Ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe jest dodatnie i z wlasności pierwiastka kwadratowego możemy szukać minimum po samym wnętrzu czyli szukasz minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2}}\)

[marysia324]

ale jak wyliczyć takie minimum???

[Inkwizytor]

Pytanie za 100pkt: czy pochodne cząstkowe Ci coś mówią?
Jeśli nie to: obstawiam (ale ciężko o szybkie i krótkie uzasadnienie) że \(\displaystyle{ y=x}\) lub \(\displaystyle{ y=-x}\) wówczas:
\(\displaystyle{ 2x^2 + \frac{1}{x^4}}\) z analizy I pochodnej.

[Justka]

Można również skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną przy szukaniu minimum interesującego nas wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2+\frac{1}{(xy)^2}}\), w wypadku gdyby pochodne cząstkowe nic autorce tematu nie mówiły

[marysia324]

ale dalej nie wiem co mam zrobic?

[Crizz]

Chodziło o to, że dla dowolnych nieujemnych liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}}\)

Przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\).

Korzystając z powyższej zależności i kładąc \(\displaystyle{ a_{1}=x^{2},a_{2}=y^{2},a_{3}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{x^{2}y^{2} \cdot \frac{1}{(xy)^{2}}}=\sqrt[3]{1}=1}\), skąd:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}} \ge 3}\), przy czym \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} =3}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\)

Z powyższej zależności wynika, że \(\displaystyle{ x= \pm 1,y= \pm 1}\).

[noyesname]

jak obliczyc to za pomoca pochodnych???