powierzchnia xyz
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 16 sie 2010, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
powierzchnia xyz
na powierzchni \(\displaystyle{ xyz=1}\) wyznaczyć punkt, który leży najbliżej początku układu współrzędnych
Ostatnio zmieniony 20 sie 2010, o 10:37 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
powierzchnia xyz
Dana bedzie dana powierzchnia \(\displaystyle{ \alpha : xyz -1 =0}\)
Niech \(\displaystyle{ A \in \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ A=(x,y, \frac{1}{xy})}\)
Odległośc (d) punktu (0,0,0) od A mozemy obliczyć ze wzoru na odległośc punktów od siebie w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Stąd \(\displaystyle{ d= \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2} }}\) i szukamy minimum funkcji d(x,y)
Ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe jest dodatnie i z wlasności pierwiastka kwadratowego możemy szukać minimum po samym wnętrzu czyli szukasz minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2}}\)
Niech \(\displaystyle{ A \in \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ A=(x,y, \frac{1}{xy})}\)
Odległośc (d) punktu (0,0,0) od A mozemy obliczyć ze wzoru na odległośc punktów od siebie w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Stąd \(\displaystyle{ d= \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2} }}\) i szukamy minimum funkcji d(x,y)
Ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe jest dodatnie i z wlasności pierwiastka kwadratowego możemy szukać minimum po samym wnętrzu czyli szukasz minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 16 sie 2010, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
powierzchnia xyz
Pytanie za 100pkt: czy pochodne cząstkowe Ci coś mówią?
Jeśli nie to: obstawiam (ale ciężko o szybkie i krótkie uzasadnienie) że \(\displaystyle{ y=x}\) lub \(\displaystyle{ y=-x}\) wówczas:
\(\displaystyle{ 2x^2 + \frac{1}{x^4}}\) z analizy I pochodnej.
Jeśli nie to: obstawiam (ale ciężko o szybkie i krótkie uzasadnienie) że \(\displaystyle{ y=x}\) lub \(\displaystyle{ y=-x}\) wówczas:
\(\displaystyle{ 2x^2 + \frac{1}{x^4}}\) z analizy I pochodnej.
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
powierzchnia xyz
Można również skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną przy szukaniu minimum interesującego nas wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2+\frac{1}{(xy)^2}}\), w wypadku gdyby pochodne cząstkowe nic autorce tematu nie mówiły
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 16 sie 2010, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
powierzchnia xyz
Chodziło o to, że dla dowolnych nieujemnych liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}}\)
Przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\).
Korzystając z powyższej zależności i kładąc \(\displaystyle{ a_{1}=x^{2},a_{2}=y^{2},a_{3}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{x^{2}y^{2} \cdot \frac{1}{(xy)^{2}}}=\sqrt[3]{1}=1}\), skąd:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}} \ge 3}\), przy czym \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} =3}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\)
Z powyższej zależności wynika, że \(\displaystyle{ x= \pm 1,y= \pm 1}\).
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}}\)
Przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\).
Korzystając z powyższej zależności i kładąc \(\displaystyle{ a_{1}=x^{2},a_{2}=y^{2},a_{3}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{x^{2}y^{2} \cdot \frac{1}{(xy)^{2}}}=\sqrt[3]{1}=1}\), skąd:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}} \ge 3}\), przy czym \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} =3}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}=\frac{1}{(xy)^{2}}}\)
Z powyższej zależności wynika, że \(\displaystyle{ x= \pm 1,y= \pm 1}\).