[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

[robin5hood]

Miało nie być wklejania gotowych rozwiązań, to bez sensu przecież.

przeciez taka sytuacja była w tym temacie, były tez wklejane

[kp1311]

Niech a,b,c-rzeczywiste i ac<0 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{2}a+\sqrt{3}b+\sqrt{5}c=0}\). Pokaż że równanie \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) ma pierwiastki (pierwiastek) w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}, 1 \right).}\)

Ukryta treść:    

Przyjmijmy że \(\displaystyle{ a>0}\), (jeśli a byłoby \(\displaystyle{ <0}\) to mnożymy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ -1}\),). Skoro \(\displaystyle{ ac<0}\) to zachodzi \(\displaystyle{ c<0}\).
Z założenia \(\displaystyle{ c = - \frac{\sqrt{2}a+\sqrt{3}b}{ \sqrt{5}}}\)
\(\displaystyle{ c<0 \Rightarrow \sqrt{2}a+\sqrt{3}b > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > - \sqrt{\frac{2}{3} } \Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{b}{a} > -1, u = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{b}{a}, u > -1}\).

\(\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a}x - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3} \frac{b}{a} }{ \sqrt{5}} =0 \Rightarrow x^2 + \sqrt{ \frac{2}{3}}ux - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}u }{ \sqrt{5}} = 0 \Rightarrow \sqrt{15} x^2 + \sqrt{10}ux - \sqrt{6}(1+u)=0, u>-1}\)

Niech \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{15} x^2 + \sqrt{10}ux - \sqrt{6}(1+u)}\).

\(\displaystyle{ f(1) = \sqrt{15} + \sqrt{10}u - \sqrt{6}(1+u) = \sqrt{16} - \sqrt{6} -( \sqrt{6} - \sqrt{10})u = ( \sqrt{6} - \sqrt{10})( \frac{\sqrt{16} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{10}} - u)=
( \sqrt{10} - \sqrt{6})(u - \frac{\sqrt{16} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{10}})}\)
Zauważmy że: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{16} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}<-1< u}\), i \(\displaystyle{ \sqrt{10} - \sqrt{6}>0}\), więc \(\displaystyle{ f(1)>0}\).

\(\displaystyle{ 16f( \frac{3}{4} ) = (9 \sqrt{5} - 16 \sqrt{6} + (12 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6})u) = (12 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6})(u - \frac{16 \sqrt{6} - 9 \sqrt{5}}{12 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6}})}\).
Zauważmy że:, \(\displaystyle{ 12 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6} <0}\), \(\displaystyle{ \frac{16 \sqrt{6} - 9 \sqrt{5}}{12 \sqrt{10} - 16 \sqrt{6}} < - 1< u}\), czyli \(\displaystyle{ 16f( \frac{3}{4} )<0 \Rightarrow f(3/4)<0}\)

\(\displaystyle{ f(1)>0}\) i \(\displaystyle{ f( \frac{3}{4})<0}\), zatem teza zadania jest prawdziwa, na podstawie twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich.

Udowodnij że iloczyn 2004 kolejnych liczb naturalnych nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym niż 1 (przyjmujemy że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest liczbą naturalną).

[marek12]

ten problem jest opisany tutaj

[justynian]

skoro tak to zadanko .....

[marek12]

znów geometria...

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie równoległobokiem, punkty \(\displaystyle{ E\in (AB)}\) i \(\displaystyle{ F\in (AD)}\) taki że \(\displaystyle{ EF\parallel BD}\) ,

\(\displaystyle{ G\in CE\cap BD , H\in CF\cap BD , P\in FG\cap BC , Q\in EH\cap CD}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA} .}\)

[timon92]

Ukryta treść:    

Będziemy wielokrotnie korzystać z twierdzenia Talesa.
\(\displaystyle{ \frac{QD}{EB} = \frac{DH}{HB} = \frac{FH}{HC} = \frac{EG}{GC} = \frac{EB}{CD} \implies QD = \frac{BE^2}{CD} \\
\frac{BP}{DF} = \frac{BG}{GD} = \frac{EG}{GC} = \frac{FH}{HC} = \frac{DF}{BC} \implies BP = \frac{DF^2}{BC}}\)
Przeto
\(\displaystyle{ \frac{DQ}{BP} = \frac{\frac{BE^2}{CD}}{\frac{DF^2}{BC}} = \frac{BE^2}{DF^2}\cdot \frac{BC}{BA} = \frac{BA^2}{AD^2} \cdot \frac{BC}{BA} = \frac{CD}{CB} \implies PQ || BD}\)

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 1+\frac{BE}{BA} = 1+\frac{BE}{DC} = 1+\frac{EG}{GC} = \frac{EC}{GC} = \frac{BD}{BH} = \frac{EQ}{QH}, \\
\frac{PQ}{EF} = \frac{\frac{PQ}{BD}}{\frac{EF}{BD}} = \frac{\frac{CQ}{CD}}{\frac{AE}{AB}} = \frac{CQ}{AE}}\)

Wystarczy więc udowodnić równość \(\displaystyle{ \frac{CQ}{AE} = \frac{EQ}{QH} \quad (*)}\)

Z rachunku \(\displaystyle{ \frac{DH}{DB} = \frac{FH}{FC} = \frac{EG}{GC} = \frac{BG}{BD}}\) wynika, że \(\displaystyle{ BG=DH}\), ponadto \(\displaystyle{ AD = BC, \angle ADH = \angle GBC}\), zatem na mocy bkb stwierdzamy, że \(\displaystyle{ \Delta BGC \equiv \Delta DHC}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle HAD = \angle GCB \implies \angle EAH = \angle QCE}\). Ponadto \(\displaystyle{ AE || QC \implies \angle AEH = \angle CQE}\), zatem na mocy kkk \(\displaystyle{ \Delta AEH \sim \Delta CQE \implies (*)}\)

----------------------------

Na polach szachownicy \(\displaystyle{ n}\) x \(\displaystyle{ n}\) rozmieszczono \(\displaystyle{ n^2}\) różnych liczb całkowitych, po jednej w każdym polu. W każdej kolumnie pole z największą liczbą pomalowano na czerwono. Zbiór \(\displaystyle{ n}\) pól szachownicy nazwiemy "dopuszczalnym" jeżeli żadne dwa z tych pól nie znajdują się w tym samym wierszu ani w tej samej kolumnie. Spośród wszystkich zbiorów dopuszczalnych wybrano zbiór, dla którego suma liczb umieszczonych na jego polach jest największa.
Udowodnij, że w tak wybranym zbiorze jest czerwone pole.

[robin5hood]

Ukryta treść:    

Niech ABC będzie trójkatem. Znaleźć maksimum
\(\displaystyle{ {K =\frac{\sqrt [3]{sinA}+\sqrt [3]{sinB}+\sqrt [3]{sinC}}{\sqrt [3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt [3]{cos\frac{B}{2}}+\sqrt [3]{cos\frac{C}{2}}}}}\)

[Swistak]

Skoro kolejny raz osoba rozwiązująca zadanie nie kwapi się do zadania następnego, to ja dam to, które chciałem dać wcześniej.
\(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=6}\)
Znajdź maksimum sumy:
\(\displaystyle{ a b c + b c d + c d e + d e f + e f a + f a b}\)

[marek12]

Zuwazmy że
abc + bcd + cde + def + efa + fab \(\displaystyle{ \le}\)abc + bcd + cde + def + efa + fab + ace + bdf = (a + d)(b + e)(c + f)
Teraz
\(\displaystyle{ (a + d)(b + e)(c + f)\leq\frac {1}{27}((a + d) + (b + e) + (c + f))^3
= \frac {1}{27}(a + b + c + d + e + f)^3 = 8}\)

Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ 2^{\log_{10}{x}}+8 = (x-8)^{\frac{1}{\log_{10}{2}}}}\)

[SaxoN]

Jeszcze tak dla dobrego smaku należałoby w rozwiązaniu dopisać, że owe maksimum jest osiągalne dla chociażby \(\displaystyle{ a=b=c=2}\) oraz \(\displaystyle{ d=e=f=0}\), żeby nikt się nie czepiał ^^

[Zordon]

\(\displaystyle{ 2^{\log_{10}{x}}+8 = (x-8)^{\frac{1}{\log_{10}{2}}}}\)

niech \(\displaystyle{ c=\log_{10}{2}}\)
Po lekkich przekształceniach:
\(\displaystyle{ x=(x^c+8)^c+8}\)
Zatem szukamy punktów stałych funkcji \(\displaystyle{ f\circ f}\) gdzie \(\displaystyle{ f}\) dana jest wzorem: \(\displaystyle{ f(x)=x^c+8}\)
Mamy z oryginalnego równania ograniczenie \(\displaystyle{ x>0}\), dalej łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ x\geq 8}\).
Zauważmy, że na przedziale \(\displaystyle{ [8,infty)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest kontrakcją (pochodna \(\displaystyle{ <c<1}\)), stąd \(\displaystyle{ f\circ f}\) też jest kontrakcją. Zatem ma dokładnie jeden punkt stały, jest nim \(\displaystyle{ 10}\).
Więc jedyne rozwiązanie tego równania to \(\displaystyle{ x=10}\).

Zadanie ode mnie:
Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) obrano nieskończony zbiór punktów \(\displaystyle{ S}\). Dla dowolnych dwóch \(\displaystyle{ X,Y\in S}\) mamy \(\displaystyle{ |XY|\in \mathbb{N}}\) (odległości między punktami są całkowitoliczbowe). Pokazać, że punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednej prostej.

[marek12]

Ukryta treść:    

Niech a+b+c=0 Pokaż że
\(\displaystyle{ (\frac{a-b}{c^{2}}+\frac{b-c}{a^{2}}+\frac{c-a}{b^{2}})(\frac{c^{2}}{a-b}+\frac{a^{2}}{b-c}+\frac{b^{2}}{c-a}) = 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}}\)

[Zordon]

Ukryta treść:    

Niech a+b+c=0 Pokaż że
\(\displaystyle{ (\frac{a-b}{c^{2}}+\frac{b-c}{a^{2}}+\frac{c-a}{b^{2}})(\frac{c^{2}}{a-b}+\frac{a^{2}}{b-c}+\frac{b^{2}}{c-a}) = 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}}\)

tam nie ma rozwiązania do mojego zadania, swoją drogą rozwiązywanie prze gogloowanie treści i wklejanie linka nie jest chyba celem tego tematu...

[marek12]

To niech ktoś ustali zasady, że np zamiast wklejac link nalezy przepiasc "po swojemu" treść z niego

[justynian]

Wklejać rozwiązanie chyba ok bo po co przepisywać to już w ogóle bez sensu ale tak żeby tam były rozwiązania a nie coś podobnego