Drut o dl. 8cm podzielono na dwie czesci. Jedna z nich zagieto w kwadrat, druga w okrag. Przy jakim podziale drutu suma pol kwadratu i kola jest najmniejsza.
-po pierwsze jak policzyc pole kola majac dany jego obwod???
zadanie optymalizacyjne II
-
mati1233
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 22 mar 2006, o 22:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
zadanie optymalizacyjne II
Ze wzoru na obwód okręgu: \(\displaystyle{ L=2\pi r}\)Carl0s pisze:-po pierwsze jak policzyc pole kola majac dany jego obwod???
\(\displaystyle{ L}\) - dł. okręgu
... i wyszło mi (raczej - 90% - źle), ale napisać moge:
Dla obwodu koła równego \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi+\frac{1}{4}}}\) pole kwadratu i koła będzie najmniejsze.
-
boo007
- Użytkownik
- Posty: 143
- Rejestracja: 18 cze 2006, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UWr
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 11 razy
zadanie optymalizacyjne II
Obwod kwadratu obw1=4a
Obwod kola obw2=2\(\displaystyle{ \pi}\)r
obw= 8cm = 4a + 2\(\displaystyle{ \pi}\)r
Pole kwadratu P1=\(\displaystyle{ a^{2}}\)
Pole kola P2=\(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)
P = P1 + P2 = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)
wyznaczamy obojetnie ktora wartosc z obwodu (8 = 4a + 2\(\displaystyle{ \pi}\)r) i wstawiamy do pola. Nalezy znalesc najmniejsza wartosc pola (w zaleznosci od promienia lub dlugosci boku kwadratu). Po podstawieniu boku kwadrata mamy pole od promienia, ktore jest wielomianem stopnia 4, z ramionami skierowanymi do gory. Najmniejsza wartoscia tej funkcji jest jedno z minimow, znalazlem minima tej funkcji dla: r=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\) i r=0 (nie wiem czy dobrze obliczylem). Po podstawieniu do pola mniejsze wyszlo dla r=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\). teraz wystarczy podstawic do obwodow i wyliczyc co trzeba.
Obwod kola obw2=2\(\displaystyle{ \pi}\)r
obw= 8cm = 4a + 2\(\displaystyle{ \pi}\)r
Pole kwadratu P1=\(\displaystyle{ a^{2}}\)
Pole kola P2=\(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)
P = P1 + P2 = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)
wyznaczamy obojetnie ktora wartosc z obwodu (8 = 4a + 2\(\displaystyle{ \pi}\)r) i wstawiamy do pola. Nalezy znalesc najmniejsza wartosc pola (w zaleznosci od promienia lub dlugosci boku kwadratu). Po podstawieniu boku kwadrata mamy pole od promienia, ktore jest wielomianem stopnia 4, z ramionami skierowanymi do gory. Najmniejsza wartoscia tej funkcji jest jedno z minimow, znalazlem minima tej funkcji dla: r=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\) i r=0 (nie wiem czy dobrze obliczylem). Po podstawieniu do pola mniejsze wyszlo dla r=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\). teraz wystarczy podstawic do obwodow i wyliczyc co trzeba.
-
juzef
- Użytkownik
- Posty: 876
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
zadanie optymalizacyjne II
I miałeś rację, w obu przypadkach pochodna jest równa 0.Carl0s pisze:aha...bo myslalem ze z Π jak sie liczy pochodna dzieja sie jakies dziwne rzeczy jak z e...
-
boo007
- Użytkownik
- Posty: 143
- Rejestracja: 18 cze 2006, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UWr
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 11 razy
zadanie optymalizacyjne II
Nie pacz na moje wyniki wyzej, bo sa zle (do teraz sie zastanawiam jakim cudem zrobily sie 2 promienie z rownania kwadratowego ), tok rozumowania jest dobry.
Po pierwsze mamy:
1. 8=4a+2Πr
2. P=a�+Πr�
z pierwszego wyciagamy bok kwadratu
a=2-Πr/2
wstawiamy do pola
P=(2-Πr/2)�+Πr�=r�(Π�/4+Π)-2Πr+4
liczymy pochodna (w koncu dzial rachunek rozniczkowy)
dP/dr=2r(Π�/4+Π)-2Π
funkcja pola jest funkcja kwadratowa, ma ramiona skierowane do gory, wiec ekstremum jest minimum, jest to punkt, w ktorym pochodna sie zeruje
2r(Π�/4+Π)-2Π=0
r(Π�/4+Π)=Π
r=(4+Π)/4
podstawiamy r do wzoru na obwod, wyliczamy a i podstawiam do wzorow na obwody kwadratu i kola i jest.
Przepraszam za tamto rozwiazanie, ale mam sesje i po kilku godzinach nauki juz nie to samo myslenie.
Po pierwsze mamy:
1. 8=4a+2Πr
2. P=a�+Πr�
z pierwszego wyciagamy bok kwadratu
a=2-Πr/2
wstawiamy do pola
P=(2-Πr/2)�+Πr�=r�(Π�/4+Π)-2Πr+4
liczymy pochodna (w koncu dzial rachunek rozniczkowy)
dP/dr=2r(Π�/4+Π)-2Π
funkcja pola jest funkcja kwadratowa, ma ramiona skierowane do gory, wiec ekstremum jest minimum, jest to punkt, w ktorym pochodna sie zeruje
2r(Π�/4+Π)-2Π=0
r(Π�/4+Π)=Π
r=(4+Π)/4
podstawiamy r do wzoru na obwod, wyliczamy a i podstawiam do wzorow na obwody kwadratu i kola i jest.
Przepraszam za tamto rozwiazanie, ale mam sesje i po kilku godzinach nauki juz nie to samo myslenie.
zadanie optymalizacyjne II
da rade to jeszcze bardziej rozpisac ?
bo sie gubie przy pochodnej moze ktos to obliczyc i podać wynik i jeszcze narysowac wykres funkcji ? prosze bardzo
bo sie gubie przy pochodnej moze ktos to obliczyc i podać wynik i jeszcze narysowac wykres funkcji ? prosze bardzo