zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

vivianell · Post autor: **vivianell** » 17 sie 2010, o 00:43

Mam wyznaczyć zbior, na ktorym ciąg jest zbieżny punktowo.
Ciag jest taki: \(\displaystyle{ f_{n} = \frac{x-n}{x+n}, x>0}\)
\(\displaystyle{ f _{n}}\) dla n dążących do nieskonczoności dąży do -1. jest to wiec granica punktowa tego ciągu. Czy to oznacza, ze zbior, na którym ciąg jest zbiezny punktowo to cala dziedzina \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) ?
Dalej mam zbadać zbieżnosc jednostajna, dobrze byłoby policzyć pochodną \(\displaystyle{ f' _{n}}\), sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ x _{0}}\) licznik rowna sie zero i obliczyć \(\displaystyle{ f _{n} (x _{0})}\) Jesli wyjdzie cos innego od -1 to znaczy, że zbieżnosci jednostajnej nie ma. tylko, że w tym przypadku licznik pochodnej nie wychodzi uzalezniony od x, bo \(\displaystyle{ f' _{n} (x) = \frac{2n}{(x+n) ^{2} }}\)
i teraz to ja nie wiem co z tego wynika.. co robię zle?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 sie 2010, o 09:30

Wiesz na czym polega zbieżność jednostajna?

vivianell · Post autor: **vivianell** » 17 sie 2010, o 14:23

znam definicje, i wg mnie powinna wyjść tutaj granica jednostajna równa 0 i ciąg powinien być jednostajnie zbieżny, ale kompletnie nie wiem, jak to pokazać

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 sie 2010, o 15:06

Hmm, granica czego? Przecież obliczyłaś już granicę ciągu \(\displaystyle{ f_n}\) i wyszło \(\displaystyle{ f_n \rightarrow -1}\). Pytanie teraz czy zbieżność jest jednostajna. (No i nie jest). Jak to wykazać?

vivianell · Post autor: **vivianell** » 17 sie 2010, o 15:18

\(\displaystyle{ sup|f _{n} -f|= sup| \frac{x-n}{x+n}+1|=sup| \frac{2x}{x+n}|}\) a to dla n dążących do nieskonczonosci dązy do zera, więc granica jednostajna jest inna niż punktowa, więc zbieżnosci jednostajnej nie ma. tak?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 sie 2010, o 15:22

vivianell pisze:\(\displaystyle{ sup|f _{n} -f|= sup| \frac{x-n}{x+n}+1|=sup| \frac{2x}{x+n}|}\)

po czym bierzesz to supremum?

vivianell pisze:granica jednostajna jest inna niż punktowa

dla mnie granica to granica, czym według Ciebie jest granica jednostajna i jakim cudem wyszła Ci inna niż punktowa

vivianell · Post autor: **vivianell** » 17 sie 2010, o 15:33

supremum jest po x>0.

licząc kierowałam się głownie wątkiem 204701.htm

a co do tych granic to spotkałam się z czymś takim (na wazniak.mimuw.edu.pl) :
"jeśli ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \displaystyle \{f_n\}}\) ma granicę punktową \(\displaystyle{ \displaystyle f}\), to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle g}\), to \(\displaystyle{ \displaystyle f=g}\). Innymi słowy jeśli ciąg \(\displaystyle{ \displaystyle \{f_n\}}\)ma granicę punktową \(\displaystyle{ \displaystyle f}\), to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja \(\displaystyle{ \displaystyle f.}\) Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej"

wiec skoro wyszły różne to nie ma zbieżnosci jednostajnej..?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 sie 2010, o 15:35

Hmmm, przeczytaj ze zrozumieniem ten cytat, który wkleiłaś... Teraz odpowiedz na pytanie: czy mogły wyjść różne granice?

vivianell · Post autor: **vivianell** » 17 sie 2010, o 15:43

ok, czyli w ogóle nie powinien mieć granicy? Skoro funkcja graniczna f=-1, to granica jednostajna też powinna być -1 (wtedy zbieznosc jednostajna zachodzi) lub w ogole nie powinno być granicy (i wtedy nie) tak? ale jak to pokazac?