[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

[robin5hood]

a moze być zadanie takie jak było na forum ale nie rozwiązane?
a tego dowodu o tym wielomianie nie pamiętam
to proponuje to:
\(\displaystyle{ A=\{a^2+13b^2 \mid a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{N}\}}\)
Pokaz że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych x,y takich ze \(\displaystyle{ x^{13}+y^{13} \in A}\) , \(\displaystyle{ x+y\notin A}\)

[SaxoN]

Obawiam się, że to może okazać się mocarne, no ale cóż... próbujemy

[limes123]

Robin, umiesz je rozwiazac? Bo wiem, ze to zadanie lezy juz dosc dlugo nierozwiazane na mathlinksie i szkoda zeby ten temat tez zblokowalo.

[robin5hood]

dlatego się pytałem czy może takie być, ale jakby ktos rozwiązał to zostawie, a to nowe

Znajdz wszystkie pary rzeczywiste (a,b) takie ze
\(\displaystyle{ (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}}}\)

[frej]

Coś chyba nie pasuje bo podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) równanie \(\displaystyle{ L^3=P^3}\) ma tylko pierwiastki zespolone według wolframalpha.

[robin5hood]

nie wierz tym programom
popatrz na równanie a zobaczysz coś co od razu widać

[justynian]

ja z kolei doszedłem łopatologicznie (mnożenie po lewej, potem do 3) do stanu gdy po lewej jest suma potęg będących wielokrotnością 2 a po prawej 0, czyli \(\displaystyle{ (a,b)=(0,0)}\). I to chyba będzie jedyna para .... chyba o to ci chodziło

[timon92]

Coś chyba nie pasuje bo podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) równanie \(\displaystyle{ L^3=P^3}\) ma tylko pierwiastki zespolone według wolframalpha.

stąd dostajemy \(\displaystyle{ b=0}\)

[robin5hood]

justynian dowodzik prosze

[justynian]

o nie ... więc ... (pomijam błahe przekształcenia bo na prawdę nie ma siły pisać posta na 2 strony )

\(\displaystyle{ a^{4}+4b^{4}=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}} |()^{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{12}+12a^{8}b^{4}+48a^{4} b^{8}+64b _{12}=54a ^{6}b ^{6}+54b ^{12}-54a ^{4}b ^{8} -54a ^{2}b ^{12}}\)
wszystko na lewo i grupujemy jak się da....
\(\displaystyle{ (3a ^{4}b ^{2}-10a ^{2}b ^{4})^{2}+(a ^{6}+3b ^{6}) ^{2}+3a^{8}b^{4}+2a^{4}b^{8}+b^{12}+54a^{2}b^{12}=0 \Leftrightarrow a=0 \wedge b=0}\)

zadanko (podobny poziom):
udowodnij że jeżeli: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k}=\sum_{k=1}^{n} b_{k}}\)\(\displaystyle{ ;a _{k} ,b _{k} \in Z _{+}}\) to:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{ (a _{k})^{2} }{a _{k}+b _{k} } \ge \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} a _{k}}\)

[timon92]

To idzie ze Schwarza w formie Engela:
\(\displaystyle{ \sum\frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{(\sum a_i)^2}{\sum a_i +\sum b_i} = \frac{(\sum a_i)^2}{2 \sum a_i} = \frac{\sum a_i}{2}}\)

-----------------------

Dany jest czworościan taki, że suma kątów płaskich przy każdym z wierzchołków jest równa \(\displaystyle{ \pi}\). Wykazać, że ściany tego czworościanu są przystające.

[Swistak]

Wykażemy nastepującą nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}^{2}}{2a_{1}+k}+\frac{a_{2}^{2}}{2a_{2}-k-x} \ge \frac{a_{1}^{2}}{2a_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{2a_{2}-x}}\) (x jest dodatnie)
Jest ona równoważna nierówności \(\displaystyle{ a_{1}^{2}(\frac{-k}{2a_{1}(2a_{1}+k)})+a_{2}^{2}(\frac{k}{(2a_{2}-k-x)(2a_{2}-x)}) \ge 0}\), a ta z kolei jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ \frac{a_{2}^{2}}{2a_{2}-k-x)(2a_{2}-x)} \ge \frac{a_{1}^{2}}{2a_{1}(2a_{1}+k)}}\), która jest już oczywista.
Analogicznie wykazujemy nierówność\(\displaystyle{ \frac{a_{1}^{2}}{2a_{1}+k+x}+\frac{a_{2}^{2}}{2a_{2}-k} \ge \frac{a_{1}^{2}}{2a_{1}+x}+\frac{a_{2}^{2}}{2a_{2}}}\)
Używając wielokrotnie tej nierówności nie zmieniając sumy \(\displaystyle{ b_{k}}\) magicznie zamieniamy mianowniki otrzymując, że lewa strona ma swoje minimum, gdy \(\displaystyle{ b_{k}=a_{k}}\) z czego mamy tezę.
Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś sprawdził to rozwiązanie xp.
Jeżeli jest dobrze, to ja od siebie daję:
\(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=6}\)
Znajdź maksimum sumy \(\displaystyle{ a b c + b c d + c d e + d e f + e f a + f a b}\)
EDIT: Widzę, że timon92 był szybciej ode mnie (długo paprałem się z zapisywaniem tych ułamków xD), więc teraz obowiązuje jego zadanie, a moje można se porobić w ramach sportu xp.

[robin5hood]

Dany jest czworościan taki, że suma kątów płaskich przy każdym z wierzchołków jest równa \(\displaystyle{ \pi.}\)Wykazać, że ściany tego czworościanu są przystające.

stara olmpiada i nawet w obie strony



Niech a,b,c-rzeczywiste i ac<0 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{2}a+\sqrt{3}b+\sqrt{5}c=0}\). Pokaż że równanie \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) ma pierwiastki (pierwiastek) w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}, 1 \right).}\)

[XMaS11]

Miało nie być wklejania gotowych rozwiązań, to bez sensu przecież.

[justynian]

bez sensu myślę było by ich przepisywanie jeszcze raz poza tym jest kolejne zadanko więc bez spamu (ups to ja też nabroiłem)