szereg Macluarina

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 6 sie 2010, o 14:47

Witam mam problem z kilkoma przykładami:
oto one. Funkcje:
1.\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{10} }{1-x}}\)
2. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{sinx}{x}}\)
3.\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x^{2}+9}}\)
funkcje rozwinąć w szereg Maclaurina. wyznaczyć przedział zbieżności.
z góry dziękuje za pomoc i pozdrawiam:)

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 6 sie 2010, o 14:51

Znasz rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\) ( dla \(\displaystyle{ \left| x \right| < 1}\)) oraz \(\displaystyle{ \sin(x)}\) w szereg Maclaurina?

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 6 sie 2010, o 14:55

nie bardzo własnie

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 6 sie 2010, o 15:01

No ok:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}}\) dla \(\displaystyle{ \left|x \right|<1}\)
\(\displaystyle{ \sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
Teraz podstaw i gotowe.

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 16 sie 2010, o 21:22

ale jak to podstawic bo za bardzo sie nie orientuje

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 16 sie 2010, o 21:37

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{10} }{1-x}=x^{10}\cdot \frac{1}{1-x}=x^{10}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^n=...}\)

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 17 sie 2010, o 06:56

tyle to sama wiedziałam ale mi chodziło co bedzie dalej?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 17 sie 2010, o 07:10

Musisz to wymnożyć.

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 17 sie 2010, o 07:33

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{10} }{1-x}=x^{10}\cdot \frac{1}{1-x}=x^{10}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^{10} \cdot x^{0} =x^{10}}\)

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 17 sie 2010, o 08:34

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^{0}}\) Na jakiej podstawie to według CIebie zachodzi?

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 17 sie 2010, o 08:40

no bo n jest równe 0??

blost · Post autor: **blost** » 17 sie 2010, o 09:06

tylko w pierwszym wyrazie... a ich przeciez troszke wiecej jest. tam masz sume przeciez.

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 17 sie 2010, o 09:10

to jak zrobić ten przykład pomoże mi ktoś chociaz jeden zrobic ??? ps: moze pozniej jakos juz sobie poradze

blost · Post autor: **blost** » 17 sie 2010, o 09:30

Kobietko ale tam masz tylko sume to jest juz wlasciwie rozwiazane trzeba tylko wymnozyc
wiesz czym jest znak sigmy tak ?

\(\displaystyle{ x^{10}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^{10}(x^0+x^1+x^2+x^3+...)}\)
albo ladniej poprzez przesuniecie sumowania na n=10
\(\displaystyle{ x^{10}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^n= \sum_{n=10}^{\infty}x^n}\)

karolina109 · Post autor: **karolina109** » 17 sie 2010, o 09:37

tak pod postacią sigmy sume liczb które mieszą sie w tym przypadku od 0 do \(\displaystyle{ \infty}\)ale dalej nie wiem jak mam o wymnozyć czy moze ktoś zrobić ten przykład krok po kroku zebym rozumiała??