Dana jest krzywa o równaniu y=(x+1)(2-x). Napisz równanie stycznych do krzywej w punktach przecięcia się tej krzywej z osią OX.
Znajdź kąt między stycznymi.
Jak znaleźć wzór stycznej do paraboli?
styczna do paraboli
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
styczna do paraboli
Punkty przecięcia to \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i \(\displaystyle{ (2,0)}\). Równanie stycznej do wykresu funkcji to:
\(\displaystyle{ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}\). Liczymy pochodną funkcji f:
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x+1\\
f'(-1)=3\\
f'(2)=-3}\).
podstawiamy do równania stycznej:
\(\displaystyle{ y_1=3x+3\\
y_2=-3x+6}\).
Kąt między prostymi policzymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ y=a_1x+b_1\\
y=a_2x+b_2\\
\tan {\alpha}= \left| \frac{a_1-a_2}{1+a_1a_2} \right|}\).
\(\displaystyle{ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}\). Liczymy pochodną funkcji f:
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x+1\\
f'(-1)=3\\
f'(2)=-3}\).
podstawiamy do równania stycznej:
\(\displaystyle{ y_1=3x+3\\
y_2=-3x+6}\).
Kąt między prostymi policzymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ y=a_1x+b_1\\
y=a_2x+b_2\\
\tan {\alpha}= \left| \frac{a_1-a_2}{1+a_1a_2} \right|}\).
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
styczna do paraboli
Najprościej metodą rachunku pochodnych, ale to zaawansowane narzędzie.
Warto dostrzec też prostszą, bardziej elementarną metodę poszukiwania wzoru stycznej do wykresu funkcji (nadaje się właściwie tylko dla funkcji wymiernych - w szczególności dla kwadratowej też).
Zajmiemy się punktem A=(2,0).
Zauważmy, że styczna jest prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\). Współczynnik b można łatwo uzależnić od a, wiedząc, że styczna przechodzi przez punkt A - punkt styczności. Stąd \(\displaystyle{ 0=2a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=-2a}\).
Styczna jest prostą mającą z krzywą (w tym przypadku parabolą) lokalnie dokładnie jeden punkt wspólny. Zatem równanie \(\displaystyle{ (x+1)(2-x)=ax-2a}\) ma mieć (przy pewnym \(\displaystyle{ a}\)) dokładnie jedno rozwiązanie. Mamy więc \(\displaystyle{ x^2+(a-1)x-2(a+1)=0}\) i musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Stąd można łatwo wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ a}\) i otrzymać szukane równanie stycznej wstawiając do wzoru \(\displaystyle{ y=ax-2a}\).
Warto dostrzec też prostszą, bardziej elementarną metodę poszukiwania wzoru stycznej do wykresu funkcji (nadaje się właściwie tylko dla funkcji wymiernych - w szczególności dla kwadratowej też).
Zajmiemy się punktem A=(2,0).
Zauważmy, że styczna jest prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\). Współczynnik b można łatwo uzależnić od a, wiedząc, że styczna przechodzi przez punkt A - punkt styczności. Stąd \(\displaystyle{ 0=2a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=-2a}\).
Styczna jest prostą mającą z krzywą (w tym przypadku parabolą) lokalnie dokładnie jeden punkt wspólny. Zatem równanie \(\displaystyle{ (x+1)(2-x)=ax-2a}\) ma mieć (przy pewnym \(\displaystyle{ a}\)) dokładnie jedno rozwiązanie. Mamy więc \(\displaystyle{ x^2+(a-1)x-2(a+1)=0}\) i musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Stąd można łatwo wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ a}\) i otrzymać szukane równanie stycznej wstawiając do wzoru \(\displaystyle{ y=ax-2a}\).