Jak liczymy pochodne cząstkowe
Wszystko wyjaśnię na przykładach.
Przykład 1
\(\displaystyle{ f(x,y)=x \cdot y}\)No to najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Czyli \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą . Powiedzmy, że \(\displaystyle{ y=5}\). Wtedy pochodna jak wygląda? No \(\displaystyle{ (5x)' _{x} = 5 \cdot (x)' _{x}=5 \cdot 1=5}\). Zatem to \(\displaystyle{ y}\) możemy sobie wyłączyć przed pochodną. I tak zawsze robimy. Zawsze wyciągamy wszystko co możemy.
\(\displaystyle{ f' _{x}= y}\)
Po \(\displaystyle{ y}\) analogicznie
Przykład 2
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{3} \cdot y^{2}}\)Najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Czyli co robimy? \(\displaystyle{ y^{2}}\) wystawiamy przed pochodną i liczymy pochodną z (\(\displaystyle{ (x ^{3})'= 3x ^{2}}\))
\(\displaystyle{ f' _{x}=3x ^{2} \cdot y^{2}}\)
\(\displaystyle{ f' _{y}= x ^{3} \cdot 2 \cdot y}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ f(x,y)= ( x+y ^{2}) ^{2}}\)Możemy sobie zawsze zrobić podstawienie (tutaj \(\displaystyle{ t= x+y ^{2}}\))
No to najpierw po \(\displaystyle{ x}\). Zatem będzie to \(\displaystyle{ (t ^{2} )'= 2 \cdot t}\) ( ponieważ \(\displaystyle{ t}\) zawiera jakiś \(\displaystyle{ x}\)) i mnożymy przez pochodną wewnętrzną
\(\displaystyle{ t' _{x}=( x+y ^{2})' _{x} = ( x )' _{x} + ( y ^{2})' _{x}= 1+0=1}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ f ' _{x} = 2 \cdot t \cdot t' _{x}}\)
\(\displaystyle{ f ' _{x} = 2 \cdot t \cdot t' _{x}= 2 \cdot ( x+y ^{2}) \cdot 1= 2 \cdot ( x+y ^{2})}\)
Analogicznie po \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ f ' _{y} = 2 \cdot ( x+y ^{2}) \cdot 2y= 4y \cdot ( x+y ^{2})}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ f(x,y)= e^{ x ^{2} \cdot y }}\)Podstawienie: \(\displaystyle{ x ^{2} \cdot y=t}\)
\(\displaystyle{ (e ^{t} )'= e ^{t}}\)
\(\displaystyle{ t' _{x}= 2 \cdot x \cdot y}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ f' _{x} = e ^{t} \cdot t' _{x}= e^{ x ^{2} \cdot y } \cdot 2 \cdot x \cdot y}\)
Reszta analogicznie:
\(\displaystyle{ f' _{y} = e^{ x ^{2} \cdot y } \cdot x^{2}}\)
Przykład 5
\(\displaystyle{ f(x,y)=cos( 10x +3y)+ \frac{1}{ x ^{2}+y }}\)Podaje odpowiedzi tylko. Robimy znowu podstawienia tylko. Jak chcesz sprawdzić czy czegoś się nauczyłeś to ( po zrobieniu przykładu ) zerknij tutaj:
Ukryta treść:
Przykład 6
\(\displaystyle{ f(x,y) = x ^{3} + 8y^{3} - 6xy +1}\)\(\displaystyle{ f' _{x}= 3x ^{2} -6y}\)
bo
\(\displaystyle{ 8y^{3}}\) to wtedy stała
\(\displaystyle{ f' _{y}= 24y ^{2} -6x}\)
bo
\(\displaystyle{ x^{3}}\) to wtedy stała
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Późno jest więc mogłem strzelić jakiś błąd Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać na PW. Jak wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Temat ma na celu nauczenie kogoś od podstaw liczenia pochodnych cząstkowych. Wymaga on jedynie znajomości liczenia pochodnych funkcji jednej zmiennej
Dziękuje smigolowi i Inkwizytorowi za dobre wskazówki.