przestrzeni probab. i zmienna losowa a dystrybuanta

[ales]

Niech \(\displaystyle{ F:R
ightarrow [0,+ infty )}\) będzie dana wzorem:

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0, \ dla \ x \le 0 \\ \frac{x}{x+1}, \ dla \ x>0 \end{cases}}\)

Pokazać, że istnieje przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ (\Omega,F,P)}\) oraz zmienna losowa \(\displaystyle{ X:\Omega \rightarrow R}\), której dystrybuantą jest \(\displaystyle{ F}\).

[Yaco_89]

jest twierdzenie, które mówi, że każda funkcja spełniająca pewne dość proste warunki jest dystrybuantą pewnego rozkładu. znasz te warunki?

[max]

Nietrudno też znaleźć explicite gęstość rozkładu zmiennej o podanej dystrybuancie a tym samym i sam rozkład.

[ales]

znalazłam takie twierdzenie:

Niech Q będzie rozkładem prawdopodobieństwa. Wówczas istnieje przestrzeń probabilistyczna (\(\displaystyle{ \Omega, \Sigma, P}\)) oraz zmienna losowa X: \(\displaystyle{ \Omega \rightarrow R}\) , taka, że:
\(\displaystyle{ Q= P_{X}}\).

Czyli wystarczy sprawdzić czy dana w zadaniu funkcja jest niemalejąca, prawostronnie ciągła i \(\displaystyle{ lim _{x \rightarrow + \infty}F(x)=1}\) i \(\displaystyle{ lim _{x \rightarrow - \infty}F(x)=0}\)?

[max]

Podane przez Ciebie twierdzenie wynika bezpośrednio z definicji rozkładu jako miary probabilistycznej na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Znacznie mniej trywialne twierdzenie, o które chyba chodziło Yacowi mówi, że każda funkcja o podanych przez Ciebie własnościach jest dystrybuantą pewnego rozkładu (przy czym odpowiedniość ta jest wzajemnie jednoznaczna).

Moja uwaga natomiast odnosiła się do tego, że w tym wypadku możemy łatwo znaleźć ten rozkład zupełnie nie odwołując się do wspomnianego twierdzenia.