Zero jako zbiór

[gre11]

Zero jest klasą abstrakcji równoliczności... Czyli \(\displaystyle{ 0=[\emptyset]_\sim=\{X: X\sim\emptyset\}=\{\emptyset\}}\). Czyli zero jest jednoelementowym zbiorem?

[Lady Tilly]

Jak podają dane historyczne, dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła, teoriomnogościowa definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. W teorii zbiorów mówi się też, że zero jest mocą zbioru pustego.

[Jan Kraszewski]

Zero jest klasą abstrakcji równoliczności... Czyli 0=\(\displaystyle{ [\emptyset]}\)~={X: X~\(\displaystyle{ \emptyset}\)}={\(\displaystyle{ \emptyset}\)} Czyli zero jest jednoelementowym zbiorem?

Twoje stwierdzenie jest mocno nieprecyzyjne. Po pierwsze, każda relacja równoważności jest określona na jakimś zbiorze. Z tym przypadku nie piszesz, czy chcesz ją rozważać na zbiorze potęgowym jekiegoś zbioru, czy na wszystkich zbiorach. To drugie podejście jest intuicyjnie zrozumiałe, ale formalnie niedopuszczalne.
Po drugie stwierdzenie, nie bardzo wiadomo, co miałoby oznaczać stwierdzenie, że zero jest klasą abstrakcji zbioru pustego. We wspomnianym wyżej intuicyjnym podejściu traktuje się zero jako wspólną cechę zbiorów zeroelementowych (a jak wiemy, taki jest tylko jeden). Nie oznacza to jednak, że identyfikujemy zero z tą (jednoelementową) rodziną zbiorów zeroelementowych - w ten sposón wyłożylibyśmy się już przy definiowaniu jedynki. Nowoczesne podejście do definiowania liczb naturalnych pochodzi od von Neumanna i polega z grubsza na konstruowaniu kanonicznych reprezentantów "klas abstrakcji równoliczności". W tym podejściu utożsamia się zero ze zbiorem pustym.

JK

[gre11]

Ale chyba liczby kardynalne są klasami abstrakcji równoliczności? Pytałem się nauczyciela i powiedział, że nie, bo równoliczność nie jest relacją, bo nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów...

[Jan Kraszewski]

No i miał rację
Stwierdzenie liczby kardynalne są klasami abstrakcji równoliczności odnosi się do wspomnianego przeze mnie intuicyjnego podejścia i powinno raczej brzmieć liczba kardynalna jest wspólną cechą wszystkich zbiorów z jednej z klas abstrakcji relacji równoliczności. Ale to tylko na poziomie intuicji, bo formalnie równoliczność rozumiana jako zalezność dotycząca wszystkich zbiorów nie jest relacją (równoważności) i nie ma klas abstrakcji...

JK

[Platonik]

To, o czym pisał autor tematu, kiedyś uznawano chyba właśnie za definicję liczb kardynalnych (jako klasę abstrakcji relacji równoliczności; teraz znana jako definicja "Fregego-Russella") -- dopóki nie odkryto komplikacji z tym związanych...