[Równania funkcyjne] równanie funkcyjne

[marek12]

Znajdz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}}\) takie ze \(\displaystyle{ f(t) = \int_0^\infty f(x) e^{-tx} dx.}\)\(\displaystyle{ }\)

[szw1710]

Może da się to zrobić elementarnie, ale po prawej mamy transformatę Laplace'a funkcji \(\displaystyle{ f}\), a po lewej tę samą funkcję. Chodzi więc o wyznaczenie punktów stałych transformaty Laplace'a: funkcji, które same są swoimi obrazami (oryginał równy jego obrazowi).

[luka52]

Jeśli kogoś ten problem interesuje, to w artykule
Complex Variable and Regularization Methods of Inversion of the Laplace Transform
D. D. Ang, John Lund, Frank Stenger
Mathematics of Computation, Vol. 53, No. 188 (Oct., 1989), pp. 589-608
można znaleźć trzy różne podejścia do tego równania.
W nieco zmienionej wersji równania, tj. \(\displaystyle{ f(t) = \lambda \mathcal{L} \{ f \}}\) można zauważyć, że \(\displaystyle{ f(t) = t^{-1/2}}\) przy \(\displaystyle{ \lambda = \pi^{-1/2}}\) jest rozwiązaniem.