Witam!
Rozważmy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = \left(1+\frac{a}{x}\right)^x}\)
dziedziną niech będzie \(\displaystyle{ x > 0}\)
można łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = 1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a}\)
zatem dla x > 0 funkcja jest rosnąca. Powinna więc mieć dodatnią pochodną.
Tymczasem kiedy liczę pochodną, jako pochodną złożoną korzystając z wzorów:
\(\displaystyle{ \left( \alpha ^x\right)' = \alpha^x \ln{ \alpha}}\)
oraz pochodna wewnętrzna:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{a}{x} \right)' = -\frac{a}{x^2}}\)
wychodzi mi na to, że pochodna naszej funkcji wynosi:
\(\displaystyle{ f'(x) = \left[\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right]' = -\frac{a}{x^2}\ \left(1+\frac{a}{x}\right)^{x} \ \ln{\left(1+\frac{a}{x}\right)}}\)
...czyli ujemna dla dodatnich x!!!
gdzie jest błąd? Bo nie potrafię go dostrzec
pochodna funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 10 sie 2010, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
pochodna funkcji
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 18:01 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
pochodna funkcji
Moim zdaniem błędnie obliczyłeś pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wzoru \(\displaystyle{ (\alpha^x)'=\alpha^x\cdot\ln\alpha}\) nie powinieneś tu zastosować, gdyż obowiązuje on tylko w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest wyrażeniem stałym.
Przed obliczeniem pochodnej przekształć wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\), wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ \alpha^{\beta}=e^{\beta\ln\alpha}}\).
W Twoim pierwszym rozumowaniu funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie musi być monotoniczna - jej zachowanie zależy po pierwsze od parametru \(\displaystyle{ a}\) (dokładniej - od porównania wartości \(\displaystyle{ e^a}\) i 1), a po drugie same granice na krańcach określoności funkcji nie decydują o jej monotoniczności.
Przed obliczeniem pochodnej przekształć wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\), wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ \alpha^{\beta}=e^{\beta\ln\alpha}}\).
W Twoim pierwszym rozumowaniu funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie musi być monotoniczna - jej zachowanie zależy po pierwsze od parametru \(\displaystyle{ a}\) (dokładniej - od porównania wartości \(\displaystyle{ e^a}\) i 1), a po drugie same granice na krańcach określoności funkcji nie decydują o jej monotoniczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 10 sie 2010, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
pochodna funkcji
Zapomniałem dodać, że przyjmujemy \(\displaystyle{ a > 0}\). Wtedy istotnie funkcja nie musi być monotoniczna, ale przynajmniej w pewnym obszarze pochodna musi być dodatnia (z ciągłości w dziedzinie i wartości granicznych). Natomiast wyszła mi wszędzie ujemna.lukasz1804 pisze:W Twoim pierwszym rozumowaniu funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie musi być monotoniczna - jej zachowanie zależy po pierwsze od parametru \(\displaystyle{ a}\) (dokładniej - od porównania wartości \(\displaystyle{ e^a}\) i 1), a po drugie same granice na krańcach określoności funkcji nie decydują o jej monotoniczności.
Spróbuję przeliczyć to ponownie zaproponowaną tu metodą, dzięki za odpowiedź.
/edit: ok, wyszło jak trzeba jeszcze raz dzięki, wakacyjna przerwa źle wpływa na myślenie matematyczne
pozdrawiam,