Równanie liniowe n-tego rzędu

[tasmman]

Witam. Mam problem z zadaniem :
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania : \(\displaystyle{ x^2y' + xy' - y = 0}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ y_{1}(x) =x}\) jest rozwiązaniem tego równania.
Z tego co wiem muszę znaleźć drugie rozwiązanie, a później wrońskim potraktować, żeby sprawdzić liniową niezależność. Ale niestety nie wiem jak znaleźć drugie rozwiązanie ... Z góry dzięki za wskazówki.

[luka52]

Podstaw w równaniu \(\displaystyle{ y = y_1 \cdot u}\), a następnie wyznacz \(\displaystyle{ u}\). By sprawdzić liniową (nie)zależność rozwiązań, zbadaj wrońskian.

[tasmman]

Hmmm, nie bardzo rozumiem jak mam to zrobić. Próbowałem, ale coś nie wychodzi. Mam podstawić za \(\displaystyle{ y = x \cdot u}\) i \(\displaystyle{ y' = u + x \cdot \frac{du}{dx}}\) i \(\displaystyle{ y'' = \frac{du}{dx} + \frac{du}{dx} + x \cdot \frac{d^2u}{dx^2}}\) ? Chyba nie tak ... ;/

[luka52]

Jest ok, teraz tylko wstaw te pochodne do równania i rozwiąż je ze względu na funkcję \(\displaystyle{ u}\).