Granica z logarytmami
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Granica z logarytmami
Oblicz granicę ciąglu liczbowego
\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}}\)
Rozwiązuje
1.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n^{3}}{n^{2}}= n^{3} * n^{-2}= n^{3+(-2)} = n^{1}= n}\)
2.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n3}{n2}= 3n * -2n= -6n^{2}}\)
czy jest to poprawnie rozwiązane?
/edit:
Poprawiony zapis
\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}}\)
Rozwiązuje
1.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n^{3}}{n^{2}}= n^{3} * n^{-2}= n^{3+(-2)} = n^{1}= n}\)
2.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n3}{n2}= 3n * -2n= -6n^{2}}\)
czy jest to poprawnie rozwiązane?
/edit:
Poprawiony zapis
Ostatnio zmieniony 6 sie 2010, o 13:23 przez MadEagle, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
Granica z logarytmami
Nie wiem skąd Ci się wzieły pierwsze dwie równości, ale moja wzkazówka do zadania jest taka:
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Granica z logarytmami
To przejście jest złe, i jemu podobne w mianowniku też jest źle
\(\displaystyle{ 9log _{3}n \neq n \cdot log _{3}9}\)
Ogólnie nieprawdziwe ale dla pewności kontrprzykład
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ L=9 \cdot log _{3}3= 9 \cdot 1=9}\)
\(\displaystyle{ P=3 \cdot log _{3}9=3 \cdot 2=6}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\)
\(\displaystyle{ 9log _{3}n \neq n \cdot log _{3}9}\)
Ogólnie nieprawdziwe ale dla pewności kontrprzykład
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ L=9 \cdot log _{3}3= 9 \cdot 1=9}\)
\(\displaystyle{ P=3 \cdot log _{3}9=3 \cdot 2=6}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Granica z logarytmami
Kamil_B pisze:Nie wiem skąd Ci się wzieły pierwsze dwie równości, ale moja wzkazówka do zadania jest taka:Ukryta treść:
wzór na zmianę podstawy logarytmu: \(\displaystyle{ log_a b= \frac{log_c b}{log_c a}}\)
Ale mam podstawić tam \(\displaystyle{ ^{n}{}\) ?\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)
to znów jest bez wyjścia, ponieważ n się nie skróci
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
Granica z logarytmami
Nie \(\displaystyle{ n}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 3}\), bo takie podstawy już masz
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Granica z logarytmami
Takie postępowanie byłoby zdecydowanie niecelowe - nic Ci to tutaj nie da.nikasek11 pisze:Wykorzystaj wzor
\(\displaystyle{ a ^{log _{c}b }=b^{log_{c}a}}\)
Należy zastosować wzór podany przez Kamil_B w taki sposób żeby logarytmy się skróciły - myśl dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Granica z logarytmami
MadEagle pisze: \(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)
Skąd tu wziąłeś 2? tu(powyżej) jest tylko licznik z początkowego zadania(\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}}\)) a mianownik według podanego wzoru to:Kamil_B pisze:Nie \(\displaystyle{ n}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 3}\), bo takie podstawy już masz
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}}\)
---
ten wzór to:
\(\displaystyle{ log_a b= \frac{log_c b}{log_c a}}\)
więc
\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}}\)
zgadza się? tylko co teraz z "n"
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Granica z logarytmami
masz takie cos:
\(\displaystyle{ \log_3 n}\)
wiec dla tego robisz zamiane podstawy na \(\displaystyle{ \log_3 n= \frac{\log_2 n}{\log_2 3}}\)
\(\displaystyle{ \log_3 n}\)
wiec dla tego robisz zamiane podstawy na \(\displaystyle{ \log_3 n= \frac{\log_2 n}{\log_2 3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Granica z logarytmami
No to właśnie coś takiego zrobiłem z wykorzystaniem tego wzoru, tylko nie podstawiałem żadnej liczby pod c, bo to nie rozwiązuje niestety równania, będzie coś takiego:
Licznik:
\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)=9 \left(\frac{log_3 n}{log_3 3}\right)=9\left(\frac{log_3 n}{1}\right)=9log_3 n}\)
Mianownik:
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}=4 \left(\frac{log_2 n}{log_2 2}\right)^{-1}= \left( 4log_2 n\right)^{-1}= \frac{1}{4log_2 n}}\)
Całość wygląda wtedy tak:
\(\displaystyle{ \frac{9log_3 n}{4log_2 n}}\)
i wracam do punktu wyjścia..
Licznik:
\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)=9 \left(\frac{log_3 n}{log_3 3}\right)=9\left(\frac{log_3 n}{1}\right)=9log_3 n}\)
Mianownik:
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}=4 \left(\frac{log_2 n}{log_2 2}\right)^{-1}= \left( 4log_2 n\right)^{-1}= \frac{1}{4log_2 n}}\)
Całość wygląda wtedy tak:
\(\displaystyle{ \frac{9log_3 n}{4log_2 n}}\)
i wracam do punktu wyjścia..
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Granica z logarytmami
a czy ja po chinsku pisze??
zamiast \(\displaystyle{ \log_3 n}\) podstaw, to co napisalem obok i nic wiecej nie zamieniaj z logarytmami
zamiast \(\displaystyle{ \log_3 n}\) podstaw, to co napisalem obok i nic wiecej nie zamieniaj z logarytmami
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Granica z logarytmami
\(\displaystyle{ 4\log_2 n=4\frac{\log_3 n}{\log_3 2}\\
\frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}=9\log_3 n :\frac{4\log_3 n}{\log_3 2}=\\
= \frac{9\log_3 n\cdot \log_3 2}{4\log_3 n}=...}\)
skracasz \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
to jest wykonanie powyzszych wskazowek
-- 9 sie 2010, o 12:51 --
A tak w sumie, to nie, bo mialem licznik zamieniac i tak proponuje tobie zrobic dla cwiczenia.
\frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}=9\log_3 n :\frac{4\log_3 n}{\log_3 2}=\\
= \frac{9\log_3 n\cdot \log_3 2}{4\log_3 n}=...}\)
skracasz \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
to jest wykonanie powyzszych wskazowek
-- 9 sie 2010, o 12:51 --
A tak w sumie, to nie, bo mialem licznik zamieniac i tak proponuje tobie zrobic dla cwiczenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Granica z logarytmami
Więc:
\(\displaystyle{ 9\log_3 n= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}\)
\(\displaystyle{ 4\log_2 n= \frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}= \frac{\frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}{\frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3} * \frac{\log_2 2}{4\log_2 n}= \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}= \frac{9\log_3 2}{\log_3 2} * \frac{4\log_3 3}{\log_3 2}= 9\log_3 3 *4\log_3 2=36\log_3 2}\)
teraz jest poprawnie?
\(\displaystyle{ 9\log_3 n= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}\)
\(\displaystyle{ 4\log_2 n= \frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}= \frac{\frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}{\frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3} * \frac{\log_2 2}{4\log_2 n}= \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}= \frac{9\log_3 2}{\log_3 2} * \frac{4\log_3 3}{\log_3 2}= 9\log_3 3 *4\log_3 2=36\log_3 2}\)
teraz jest poprawnie?