uzasadnic ze nie isteniej granica

[karolina109]

witam mam problem z zadaniem 2w którym nalezy uzasadnic ze nie istniej granica:
oto one:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{2xy}{ x^{2} + y^{2} }}\)

[sushi]

wezmy dwa ciagi \(\displaystyle{ x=y= \frac{1}{n}}\) --> policzymy tego granice

a teraz ciagi \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y= \frac{1}{n}}\) --> policzymy granice

a teraz \(\displaystyle{ x= \frac{-1}{n}}\), \(\displaystyle{ y= \frac{1}{n}}\)--> policzymy granice

[karolina109]

a gdybym zrobiła najpierw (x,y)=\(\displaystyle{ (\frac{1}{n},0) a potem (x,y)= (0,{ \frac{1}{n} })}\)

[sushi]

zamiana "x" z "y" nic nie wnosi bo granice beda takie same; dlatego mozna wziąc przyklad

1.\(\displaystyle{ ( \frac{1}{n}; \frac{1}{n} )}\)--> policzyc granice

2a)\(\displaystyle{ ( \frac{-1}{n}; \frac{1}{n} )}\)--> policzyc granice

lub

2b)\(\displaystyle{ ( \frac{1}{n}; \frac{-1}{n} )}\)--> policzyc granice

[karolina109]

ale dlaczego tak bedzie mozesz mi wytłumaczyc bo za bardzo tego nie widze??

[sushi]

mozna tez sie pobawic i podac np takie cos

3.\(\displaystyle{ ( \frac{1}{n^2}; \frac{1}{n} )}\)--> policzyc granice

[karolina109]

no wiem ale skad to sie bierze??

[sushi]

nasz ciag \(\displaystyle{ (x,y)}\) ma dazyc do środka ukladu wspolrzednych \(\displaystyle{ (0,0)}\) wiec moze on dązyc (szukamy kontrprzykladów) :

a) przez obie dodatnie wspolrzedne \(\displaystyle{ (\frac{1}{n} ; \frac{1}{n})}\)
b) przez jedna dodatnia, jedna ujemna \(\displaystyle{ (\frac{-1}{n} ; \frac{1}{n})}\) lub \(\displaystyle{ (\frac{1}{n} ; \frac{-1}{n})}\)
c) obie ujemne

taki przyklad tez mialem kiedys na cwiczeniach, wiec go dobrze pamietam -- 9 sierpnia 2010, 10:02 --masz policzyc granice \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\) wiec robimy sobie rozne ciagi, jezeli nie trafimy na dwa, ktore dadza rozne granice ( przy tysiacach prób), to znaczy ze ta granica istnieje

[karolina109]

ale czy nie mozna zrobic tylko a i b poniewaz w ce wychodzi to samo co w a czyli 1 a w b wychodzi -1.

[Crizz]

Oczywiście, że wystarczy wskazać dwa ciągi, dla których wyjdą różne granice.

-- 10 sierpnia 2010, 19:17 --

Co do granicy w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), to mogę podpowiedzieć, jak łatwo je ugryźć.

Sztuczka polega na tym, zeby potraktować x i y jak współrzedne punktów na płaszczyźnie. Zamieniamy współrzędne na współrzedne w układzie współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=rcos\alpha \\ y=rsin\alpha \end{cases}}\)

Podstawiamy wzory na \(\displaystyle{ x,y}\):
\(\displaystyle{ \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} \Leftrightarrow \frac{2r^{2}sin\alpha cos\alpha}{(rcos\alpha)^{2}+(rsin\alpha)^{2}}}\)

Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie \(\displaystyle{ sin2\alpha}\).

Teraz zamiast liczyć granicę \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\), liczymy \(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\) (żeby dojść do punktu (0,0) w układzie współrzędnych biegunowych, trzeba właśnie zmniejszyć promień do zera). Teraz mamy już do policzenia prostą granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0}sin2\alpha=sin2\alpha}\)

Co stwierdzamy? że granica nie istnieje. Czemu? Bo jej wartość zależy od kąta \(\displaystyle{ a\lpha}\) (dla różnych kątów wyjdą różne granice). To oczywiście nie jest jeszcze dowód, że granica nie istnieje.

W naszych obliczeniach mogła nam od razu wyjść liczba (zamiast wyrażenia zależnego od kąta). Wtedy w prosty sposób mielibyśmy obliczoną szukaną granicę.

Co robimy, żeby udowodnić, że granica nie istnieje? Znajdujemy dwie "łatwe" wartości kąta, dla których wychodzą dwie różne wartości granicy. W naszym przykładzie mogą to być np. kąty \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) (\(\displaystyle{ sin(2 \cdot \frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)) oraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}}\) (\(\displaystyle{ sin(-2 \cdot \frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)). Teraz jeśli się zastanowimy, co to są te kąty, to dojdziemy do wniosku, że jeśli będziemy się zbliżać do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) używając takich ciągów \(\displaystyle{ x_{n},y_{n}}\) (oczywiście dążących do zera), że punkty \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})}\) będą należeć do prostej \(\displaystyle{ y=tg\alpha \cdot x}\), to NA PEWNO wyjdzie nam dla tych ciągów granica równa \(\displaystyle{ 2sin\alpha}\).

Najpierw mamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\): punkty \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})}\) mają leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\). Bierzemy najprostsze: \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{1}{n},y_{n}=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot x_{n}=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{n}}\)

Teraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}}\): punkty \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})}\) mają leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\). znów bierzemy najprostsze: \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{1}{n},y_{n}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot x_{n}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{n}}\).

Po podstawieniu tych ciągów można się przekonać, że wyjdą rzeczywiście dwie różne granice, mianowicie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Podane wcześniej jako przykłady pary ciągów \(\displaystyle{ \frac{1}{n},\frac{1}{n}}\) oraz\(\displaystyle{ \frac{1}{n},-\frac{1}{n}}\) odpowiadają na przykład kątom \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\). Rzeczywiście wychodzą dla nich różne granice: \(\displaystyle{ sin (2\cdot \frac{\pi}{4})=1}\), \(\displaystyle{ sin (-2\cdot \frac{\pi}{4})=-1}\).

Starałem się wytłumaczyć to najjaśniej jak umiałem Metoda jest naprawdę wygodna i ma jeszcze jedną zaletę: niczego nie trzeba sprawdzać tysiąc razy