retrakt domknięty, pochodna zbioru

[ziggy_stardust]

1) Pokazać, że każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty

2) Zbiór punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A i oznaczamy \(\displaystyle{ A^d}\). Definiujemy n-tą pochodną zbioru A (oznaczenie \(\displaystyle{ A^{(n)}}\)) następująco: \(\displaystyle{ A^{(1)}=A^d}\) oraz \(\displaystyle{ A^{(n)}=\left(A^{(n-1)}\right)^d}\).
(a) podać przykład podzbioru liczb rzeczywistych mającego trzy kolejne pochodne różne
(b) podać przykład podzbioru liczb rzeczywistych mającego nieskończenie wiele pochodnych różnych

[Ein]

2a) Idea jest taka, żeby wraz z każdą pochodną przechodzić do nowych punktów skupienia, które będą tworzyły ciągi zbieżne do kolejnych punktów skupienia.


Skonstruujmy zatem najpierw zbiór, który ma jeden punkt skupienia. Proste: \(\displaystyle{ A_1:=\left\{\frac{1}{n}:\ n\in\mathbb{N}\right\}}\).
Mamy: \(\displaystyle{ A_1^d=\{0\}}\), \(\displaystyle{ A_1^{(2)}=\emptyset}\), czyli \(\displaystyle{ A_1}\) ma jedną pochodną niepustą, a drugą pustą.


Zbudujmy teraz zbiór, który ma dwie różne pochodne niepuste, a trzecia jest zbiorem pustym. W tym celu stworzymy odpowiedni ciąg ciągów \(\displaystyle{ \left(a_{kn}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{kn}}\) jest zbieżny ściśle monotonicznie do \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) względem \(\displaystyle{ k}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty}a_{kn}=\frac{1}{n+1}}\) oraz ponadto zachodzą nierówności: \(\displaystyle{ \forall n,k:\ \frac{1}{n+1}<a_{kn}<\frac{1}{n}}\).
Np. połóżmy: \(\displaystyle{ a_{kn}:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)(k+1)}}\) (sprawdź, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) zachodzą żądane nierówności).

Ok. Zdefiniujmy żądany zbiór: \(\displaystyle{ A_2:=\bigcup_{n>0}\bigcup_{k>0}a_{nk}}\).

Zachodzi: \(\displaystyle{ A_2^d=A_1}\) oraz dalej \(\displaystyle{ A_2^{(2)}=A_1^d=\{0\}}\) i \(\displaystyle{ A_2^{(3)}:=\emptyset}\). Sprawdź, dlaczego tak jest!


Zbiór \(\displaystyle{ A_2}\) ma 3 różne pochodne. Gdybyśmy dodatkowo chcieli, by trzecia była niepusta, a czwarta pusta, to analogicznie do konstrukcji \(\displaystyle{ A_2}\) tworzymy zbiór \(\displaystyle{ A_3}\). Po prostu z każdą pochodną przechodzimy do nowego zbioru punktów skupienia, które same tworzą ciągi.


2b) Chcemy teraz otrzymać zbiór \(\displaystyle{ A}\) taki, że każde dwie pochodne są różne. No to wykorzystajmy podpunkt 2a). Zmodyfikujmy delikatnie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) z powyższego podpunktu. Mianowicie przesuńmy je o \(\displaystyle{ n-1}\). Czyli niech teraz \(\displaystyle{ A_n\subset \left[n-1,n\right]}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) definiujmy następująco: \(\displaystyle{ A=\bigcup_{n>0}A_n}\), gdzie \(\displaystyle{ A_n}\) są już przesunięte o \(\displaystyle{ n-1}\). Ma on nieskończenie wiele różnych pochodnych.


Wczytaj się dokładnie, co się tutaj dzieje. Konstrukcja jest bardzo prosta! Chodzi po prostu o otrzymywanie wraz z każdą pochodną nowych zbieżnych ciągów. Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem przy opisywaniu pomysłu. W razie czego pytaj!

-- 8 sie 2010, o 22:18 --

1) Zauważ, że w przestrzeni Hausdorffa \(\displaystyle{ X}\) każdy ciąg (naturalny lub uogólniony) ma co najwyżej jedną granicę. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie retraktem \(\displaystyle{ X}\) przez retrakcję \(\displaystyle{ r:X\to A}\). Niech \(\displaystyle{ (x_i)_i\subset A}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ r}\) jest ciągła, więc \(\displaystyle{ r(x_i)\to r(x)}\). Ale \(\displaystyle{ r(x_i)=x_i}\), bo \(\displaystyle{ r}\) jest retrakcją. Zatem \(\displaystyle{ r(x)=x}\) (p. pierwsze zdanie), czyli \(\displaystyle{ x\in A}\).

[max]

1. Trochę inny dowód:

Pokażemy, że \(\displaystyle{ X\setminus A}\) jest otwarty.

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in X\setminus A}\).

Mamy \(\displaystyle{ r(x)\in A,}\) zatem \(\displaystyle{ r(x)\neq x,}\) więc ponieważ przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest Hausdorffa, to znajdziemy zbiory otwarte \(\displaystyle{ U, V}\) takie, że \(\displaystyle{ x\in U, \ r(x)\in V, \ U\cap V = \varnothing}\).

Z ciągłości \(\displaystyle{ r}\) zbiór \(\displaystyle{ r^{-1}(V)}\) jest otwarty, ponadto \(\displaystyle{ x\in r^{-1}(V)}\), bowiem \(\displaystyle{ r(x)\in V}\).

Twierdzimy, że zbiór \(\displaystyle{ W:= U\cap r^{-1}(V)}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\) zawartym w \(\displaystyle{ X\setminus A}\) (którego istnienie dowodzi otwartości \(\displaystyle{ X\setminus A}\)).

Istotnie: \(\displaystyle{ x\in W}\) wynika z poprzednich uwag, ponadto zbiór ten jest otwarty jako przecięcie zbiorów otwartych; wreszcie gdyby było \(\displaystyle{ y\in A\cap W}\), to w szczególności \(\displaystyle{ y\in U}\) oraz \(\displaystyle{ r(y)\in V}\) (bo \(\displaystyle{ y\in r^{-1}(A)}\)) a zatem \(\displaystyle{ r(y) = y\in U\cap V}\) - sprzeczność.

[ziggy_stardust]

2b) Chcemy teraz otrzymać zbiór \(\displaystyle{ A}\) taki, że każde dwie pochodne są różne. No to wykorzystajmy podpunkt 2a). Zmodyfikujmy delikatnie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) z powyższego podpunktu. Mianowicie przesuńmy je o \(\displaystyle{ n-1}\). Czyli niech teraz \(\displaystyle{ A_n\subset \left[n-1,n\right]}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) definiujmy następująco: \(\displaystyle{ A=\bigcup_{n>0}A_n}\), gdzie \(\displaystyle{ A_n}\) są już przesunięte o \(\displaystyle{ n-1}\). Ma on nieskończenie wiele różnych pochodnych.

Fajny pomysł, jednak ciekawi mnie czy zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) da się opisać jakąś formułką. Może coś takiego:
\(\displaystyle{ A_1=\{a_n=\frac{1}{n}, n>0\}}\),
\(\displaystyle{ A_2=\{1+a_{nk},n,k>0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{nk}=a_n\sqrt{\frac{k+1}{k}}}\),
\(\displaystyle{ A_3=\{2+a_{nkl},n,k,l>0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{nkl}=a_{nk} \sqrt[3]{\frac{l+1}{l}}}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ A_N=\{N-1+a_{n_1n_2\ldots n_N},n_1,n_2,\ldots,n_N>0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{n_1n_2\ldots n_N}=a_{n_1n_2\ldots n_{N-1}} \sqrt[N]{\frac{n_N+1}{n_N}}}\)
by zadziałało?